在静电学里，电势能（electric potential energy）是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。电势能的单位是焦耳。电势能与电势不同。电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷。电势的单位是伏特。
电势能的数值不具有绝对意义，只具有相对意义。所以，必须先设定一个电势能为零的参考系统。当物理系统内的每一个点电荷都互相分开很远（分开距离为无穷远），都相对静止不动时，这物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。[1]:§25-1假设一个物理系统里的每一个点电荷，从无穷远缓慢地被迁移到其所在位置，总共所做的机械功为 � W ，则这物理系统的电势能 � U 为
�
� U=W 。 在这过程里，所涉及的机械功 � W ，不论是正值或负值，都是由这物理系统之外的机制赋予，并且，缓慢地被迁移的每一个点电荷，都不会获得任何动能。
如此计算电势能，并没有考虑到移动的路径，这是因为电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。
目录 1 计算电势能 2 储存于点电荷系统内的电势能 2.1 单点电荷系统 2.2 双点电荷系统 2.3 三个以上点电荷的系统 3 储存于连续电荷分布的能量 4 自身能与相互作用能 5 参考文献 计算电势能 在一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而这计算只需要两项资料：
其它电荷所产生的电势。 这点电荷Q的电荷量。 注意到这计算不需要知道其它电荷的电荷量，也不需要知道这点电荷Q所产生的电势。
储存于点电荷系统内的电势能 单点电荷系统 只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。
双点电荷系统
一个质子受到的另一个质子的电场力和电势能随 � r 变化的示意图。 思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 � 1 q_{1} 的位置为坐标系的原点 � \mathbf{O} ，则根据库仑定律，点电荷 � 1 q_{1} 施加于位置为 � \mathbf {r} 的第二个点电荷 � 2 q_{2} 的电场力为
� �
� 1 � 2 4 � � 0
� ^ � 2 {\mathbf {F}}{{c}}={\frac {q{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {{\hat {{\mathbf {r}}}}}{r^{2}}} ； 其中， � 0 \epsilon _{0} 是电常数。
在迁移点电荷 � 2 q_{2} 时，为了要抗拒电场力，外机制必需施加作用力 − � � -{\mathbf {F}}{{c}} 于点电荷 � 2 q{2} 。所以，机械功 � W 为
�
− ∫ � � � ⋅ d ℓ
−
� 1 � 2 4 � � 0 ∫ � � ^ � 2 ⋅ d ℓW=-\int {{{\mathbb {L}}}}{\mathbf {F}}{{c}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{{\mathbb {L}}}}{\frac {{\hat {{\mathbf {r}}}}}{r^{2}}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }} 。 由于库仑力为保守力，机械功与积分路径 � \mathbb{L} 无关，所以，可以选择任意一条积分路径。在这里，最简单的路径为从无穷远位置朝着 − � ^-{\hat {{\mathbf {r}}}} 方向迁移至 � \mathbf {r} 位置的直线路径。那么，机械功为
�
−
� 1 � 2 4 � � 0 ∫ ∞ � d � � 2
� 1 � 2 4 � � 0 � W=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{\infty }}^{{r}}{\frac {{\mathrm {d}}r}{r^{2}}}={\frac {q{1}q{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}} 。 这机械功是无穷远位置与 � \mathbf {r} 位置之间的静电能差别：
�
� ( � ) − � ( ∞ ) W=U({\mathbf {r}})-U(\infty ) 。 设定 � ( ∞ )
0 U(\infty )=0 ，则
� ( � )
� 1 � 2 4 � � 0 � U({\mathbf {r}})={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}} 。 现在，假设两个点电荷的位置分别为 � 1 \mathbf{r}_1 、 � 2 \mathbf{r}_2 ，则电势能为
�
1 4 � � 0
� 1 � 2 | � 2 − � 1 |
1 4 � � 0
� 1 � 2 � 12 U={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {q{1}q_{2}}{|{\mathbf {r}}{2}-{\mathbf {r}}{1}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {q{1}q_{2}}{r_{{12}}}} ； 其中， � 12
| � 2 − � 1 | r_{{12}}=|{\mathbf {r}}{2}-{\mathbf {r}}{1}| 是两个点电荷之间的距离。
假设两个点电荷的正负性相异，则电势能为负值，两个点电荷会互相吸引；否则，电势能为正值，两个点电荷会互相排斥。
三个以上点电荷的系统 对于三个点电荷的系统，外机制将其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置迁移至最终位置，所需要做的机械功，就是整个系统的静势能。以方程表示，
�
1 4 � � 0 ( � 1 � 2 � 12 + � 1 � 3 � 13 + � 2 � 3 � 23 ) U={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\left({\frac {q{1}q_{2}}{r_{{12}}}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{r_{{13}}}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{r_{{23}}}}\right) ； 其中， � 1 , � 2 , � 3 q_{1},q_{2},q_{3} 为点电荷， � � � r_{{ij}} 为第i个与第j个点电荷之间的距离。
按照这方法演算，对于多个点电荷的系统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自缓慢迁移到最后对应位置。在第 � i 个点电荷 � � q_i 迁移时，只会感受到从第 1 1 个点电荷到第 � − 1 i-1 个点电荷的电场力，而机械功 � � W_{i} 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献：
� �
1 4 � � 0 ∑ �
1 � − 1 � � � � � � � W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\sum {{j=1}}^{{i-1}}{\frac {q{i}q{j}}{r_{{ij}}}} 。 所有点电荷做出的总机械功（即总电势能）为[2]
�
�
∑ �
1 � � �
1 4 � � 0 ∑ �
1 � ∑ �
1 � − 1 � � � � � � � U=W=\sum {{i=1}}^{n}W{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\sum {{i=1}}^{n}\sum {{j=1}}^{{i-1}}{\frac {q{i}q{j}}{r{{ij}}}} 。 将每一个项目重复多计算一次，然后将总和除以 2 2 ，这公式也可以表达为，
�
1 8 � � 0 ∑ �
1 � ∑ �
1 , � ≠ � � � � � � � � � U={\frac {1}{8\pi \epsilon {0}}}\sum {{i=1}}^{n}\sum {{j=1,j\neq i}}^{{n}}{\frac {q{i}q{j}}{r{{ij}}}} 。 这样，可以忽略点电荷的迁移顺序。
注意到除了点电荷 � � q_i 以外，所有其它点电荷产生的电势在位置 � � {\mathbf {r}}_{i} 为
� ( � � )
1 4 � � 0 ∑ �
1 , � ≠ � � � � � � � \phi ({\mathbf {r}}_{i})={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\sum {{j=1,j\neq i}}^{{n}}{\frac {q{j}}{r{{ij}}}} 。 所以，离散点电荷系统的总电势能为
�
1 2 ∑ �
1 � � � � ( � � ) U={\frac {1}{2}}\sum {{i=1}}^{n}q{i}\phi ({\mathbf {r}}_{i}) 。 上述方程假设电介质是自由空间，其电容率为 � 0 \epsilon _{0} ，即电常数。假设电介质不是自由空间，而是电容率为 �\epsilon 的某种电介质，则必需将方程内的 � 0 \epsilon _{0} 更换为 �\epsilon 。 储存于连续电荷分布的能量 对于连续电荷分布，前面的电势能方程变为[2]
�
1 2 ∫ � � ( � ) � ( � )
d 3 � {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r} ； 其中， � ( � ) \rho ({\mathbf {r}}) 是在源位置 � \mathbf {r} 的电荷密度， � \mathbb{V} 是积分体积。
应用高斯定律
∇ ⋅ �
� � 0 {\mathbf {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}} ; 其中， � \mathbf {E} 是电场。
电势能为
�
� 0 2 ∫ � [ ∇ ⋅ � ( � ) ] � ( � )
d 3 �
� 0 2 ∫ � ∇ ⋅ [ � ( � ) � ( � ) ] − � ( � ) ⋅ ∇ � ( � )
d 3 � {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }[\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )]\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]-\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\end{aligned}}} 。 应用散度定理，可以得到
�
� 0 2 ∮ � [ � ( � ) � ( � ) ] ⋅ d 2 � − � 0 2 ∫ � � ( � ) ⋅ ∇ � ( � )
d 3 � {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\mathbb {S} }[\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]\cdot \mathrm {d} ^{2}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r} ； 其中， � \mathbb {S} 是包住积分体积 � \mathbb{V} 的闭曲面。
当积分体积 � \mathbb{V} 趋向于无限大时，闭曲面 � \mathbb {S} 的面积趋向于以变率 � 2 r^{2} 递增，而电场、电势分别趋向于以变率 1 / � 2 1/r^2 、 1 / � 1/r 递减，所以，上述方程右手边第一个面积分项目趋向于零，电势能变为
�
− � 0 2 ∫ � � �
� � � � � � ( � ) ⋅ ∇ � ( � ) d 3 � {\displaystyle U=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}r} 。 电场与电势的微分关系为
�
− ∇ �{\mathbf {E}}=-\nabla \phi 。 将这方程代入，电势能变为
�
� 0 2 ∫ � � �
� � � � � [ � ( � ) ] 2 d 3 � {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r} 。 所以，电势能密度 � u 为
� ( � )
� 0 2 [ � ( � ) ] 2 u({\mathbf {r}})={\frac {\epsilon _{0}}{2}}[E({\mathbf {r}})]^{2} 。 自身能与相互作用能 前面分别推导出两个电势能方程：
�
1 8 � � 0 ∑ �
1 � ∑ �
1 , � ≠ � � � � � � � � � U={\frac {1}{8\pi \epsilon {0}}}\sum {{i=1}}^{n}\sum {{j=1,j\neq i}}^{{n}}{\frac {q{i}q{j}}{r{{ij}}}} 。 �
� 0 2 ∫ � � �
� � � � � [ � ( � ) ] 2 d 3 � {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int {\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r} 。 注意到第一个方程计算得到的电势能，可以是正值，也可以是负值；但从第一个方程推导出来的第二个方程，其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题？原因是第一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能；而第二个方程在推导过程中，无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程时，在位置 � � {\mathbf {r}}{i} 的电势乃是，除了 � � q_i 以外，所有其它电荷共同贡献出的电势；而在推导第二个方程时，电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。
举一个双点电荷案例，假设电荷 � 1 q_{1} 、 � 2 q_{2} 的位置分别为 � 1 \mathbf{r}_1 、 � 2 \mathbf{r}_2 ，则在任意位置 � \mathbf {r} 的电场为[2]
�
� 1 + � 2
� 1 4 � � 0
� − � 1 | � − � 1 | 3 + � 2 4 � � 0
� − � 2 | � − � 2 | 3 {\mathbf {E}}={\mathbf {E}}{1}+{\mathbf {E}}{2}={\frac {q_{1}}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}{1}}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}{1}|^{3}}}+{\frac {q{2}}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}{2}}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{2}|^{3}}} ， 其电势能密度为
�
� 0 2 � 2
� 0 2 ( � 1 2 + � 2 2 + 2 � 1 ⋅ � 2 ) u={\frac {\epsilon {0}}{2}}E^{2}={\frac {\epsilon {0}}{2}}(E{1},^{2}+E{2},^{2}+2{\mathbf {E}}{1}\cdot {\mathbf {E}}{2}) 。 很明显地，这方程右手边的前两个项目分别为电荷 � 1 q_{1} 、 � 2 q_{2} 的自身能密度 � 0 � 1 2 / 2 \epsilon {0}E{1},^{2}/2 、 � 0 � 2 2 / 2 \epsilon {0}E{2},^{2}/2 。最后一个项目是否为相互作用能密度？为了回答这有意思的问题，继续计算相互作用能密度的体积积分：
� � � �
∫ � � � � �
d 3 �
� 0 ∫ � � 1 ⋅ � 2
d 3 �
� 1 � 2 16 � 2 � 0 ∫ � � − � 1 | � − � 1 | 3
⋅
� − � 2 | � − � 2 | 3
d 3 � {\displaystyle U_{int}=\int {\mathbb {V} }u{int}\ \mathrm {d} ^{3}r=\epsilon _{0}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} {1}\cdot \mathbf {E} {2}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {q{1}q{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}\ \cdot \ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r} 。 应用一条向量恒等式，
∇ ( 1 | � − � ′ | )
−
( � − � ′ ) | � − � ′ | 3 \nabla \left({\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\right)=-\ {\frac {({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}} ， 可以得到
� � � �
� 1 � 2 16 � 2 � 0 ∫ � ∇ ( 1 | � − � 1 | )
⋅
∇ ( 1 | � − � 2 | ) d 3 �
� 1 � 2 16 � 2 � 0 ∫ � ∇
⋅
[ 1 | � − � 1 | ∇ ( 1 | � − � 2 | ) ] −
( 1 | � − � 1 | ) ∇ 2 ( 1 | � − � 2 | ) d 3 � {\displaystyle {\begin{aligned}U_{int}&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} {1}|}}\right)\ \cdot \ \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} {2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\&={\frac {q{1}q{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]-\ \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\end{aligned}}} 。 应用散度定理，可以将这方程右手边第一个项目，从体积积分变为面积积分：
∫ � ∇
⋅
[ 1 | � − � 1 | ∇ ( 1 | � − � 2 | ) ] d 3 �
∮ � [ 1 | � − � 1 | ∇ ( 1 | � − � 2 | ) ] ⋅ d 2 � {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\cdot \mathrm {d} ^{2}r} ； 其中， � \mathbb {S} 是包住积分体积 � \mathbb{V} 的闭曲面。
假设 � \mathbb{V} 趋向于无穷大空间，则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的向量恒等式
∇ 2 ( 1 | � − � ′ | )
− 4 � � ( � − � ′ ) \nabla ^{2}\left({\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\right)=-4\pi \delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}') ， 可以得到
� � � �
� 1 � 2 4 � � 0 ∫ � � �
� � � � � � ( � − � 2 ) | � − � 1 |
d 3 �
1 4 � � 0
� 1 � 2 | � 1 − � 2 | {\displaystyle U_{int}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }{\frac {\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} {1}|}}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {q{1}q{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}} 。 这正是双点电荷系统的电势能。
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