安培环路定律[1]（英语：Ampère's circuital law）常直接简称为“安培定律”，是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。

安培环路定律表明了：在真空中载流导线所载有的稳恒电流，与磁感应强度沿着环绕导线的任意闭合回路（环路，closed loop）[注 1]的路径积分（环场积），两者之间的关系为

∮ � � ⋅ d ℓ

� 0 � enc {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu {0}I{\text{enc}}}； 其中， � \mathbb {C} 是环绕着导线的闭合回路， � \mathbf {B} 是磁感应强度（又称为B场）， d ℓ\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}是微小线元素向量， � 0 \mu {0}是磁常数， � enc {\displaystyle I{\text{enc}}}是闭合回路 � \mathbb {C} 所围住的电流。

亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。

1861年，詹姆斯·麦克斯韦又将这方程重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。麦克斯韦认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程称为麦克斯韦-安培方程，是麦克斯韦方程组中的一个方程，以积分形式表示为

∮ � � ⋅ d ℓ

� 0 ∫ � ( � + ∂ � ∂ � ) ⋅ d � {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{\mathbb {S} }\left(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }； 其中， � \mathbb {S} 是边缘为 � \mathbb {C} 的任意曲面， � \mathbf {J} 是穿过曲面 � \mathbb {S} 的电流的电流密度， � \mathbf{ D }是电位移， d � \mathrm {d} \mathbf {a} 是微小面元素向量。

目录 1 右手定则 2 原版安培环路定律 2.1 积分形式 2.2 微分形式 3 电流分类 3.1 自由电流 3.2 磁化电流 3.3 电极化电流 4 原版安培环路定律的不足处 4.1 位移电流 5 原本定律的延伸：麦克斯韦-安培方程 5.1 等价证明 6 CGS单位制的安培方程 7 备注 8 参见 9 注释 10 参考文献 11 外部链接 右手定则 载流循环所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。

安培右手定则：将右手的大拇指指向电流 � I方向，再将四根手指握紧电线，则弯曲的方向决定磁场 � \mathbf {B} 的方向 右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为“安培右手定则”，或“安培定则”。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

原版安培环路定律

一条载流导线所载有的电流会产生磁场。 安培环路定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据开尔文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），对于任意向量 � \mathbf {F} ，

∫ � ∇ × � ⋅ d �

∮ � � ⋅ d ℓ{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}。 所以，这两种形式是等价的。

积分形式 电流 � I在一个曲面 � \mathbb {S} 上的通量，等于磁场 � \mathbf {B} 沿着 � \mathbb {S} 的边缘闭合回路 � \mathbb {C} 的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培环路定律的积分形式可以写为[2]：

∮ � � ⋅ d ℓ

� 0 � \oint _{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I。 请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清：

第一，边界曲线 � \mathbb {C} 的正向与曲面 � \mathbb {S} 的侧符合右手规则。[注 1] 第二，（固定 � \mathbb {C} ，）定理之成立与以 � \mathbb {C} 为边界的 � \mathbb {S} 的选择无关。[注 2] 安培环路定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

微分形式 根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为

∇ × �

� 0 � \nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}。 磁场 � {\mathbf {B}}的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度 � {\mathbf {J}}。

电流分类 电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程表示，总电流密度 � \mathbf {J} 是

�

� � + � � + � � {\mathbf {J}}={\mathbf {J_{f}+J_{M}+J_{P}}}； 其中， � � {\mathbf {J}}{f}是自由电流密度或传导电流密度， � � {\mathbf {J}}{M}是磁化电流密度， � � {\mathbf {J}}_{P}是电极化电流密度。

从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场 � \mathbf {B} 和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场） � \mathbf{H}和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。

自由电流 通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。

磁化电流 当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度” � � {\mathbf {J}}_{M}，用方程定义为

� �

= � � �

∇ × � {\mathbf {J}}_{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times {\mathbf {M}}； 其中， � \mathbf {M} 是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。

电极化电流 束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化，束缚电荷也会随着时间而移动，因而产生“电极化电流”，称其密度为“电极化电流密度” � � {\mathbf {J}}_{P}，用方程定义为

� �

= � � �

∂ � ∂ � {\mathbf {J}}_{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathbf {P}}}{\partial t}}； 其中， � \mathbf {P} 是电极化强度。

注意到电极化强度的定义式

∇ ⋅ �

= � � �

− � � \nabla \cdot {\mathbf {P}}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho _{b}； 其中， � � \rho _{b}是“体束缚电荷密度”。

取电极化电流密度的散度：

∇ ⋅ � �

∂ ∂ � ( ∇ ⋅ � ) \nabla \cdot {\mathbf {J}}_{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot {\mathbf {P}})。 所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为

∇ ⋅ � �

− ∂ � � ∂ � \nabla \cdot {\mathbf {J}}_{P}=-{\frac {\partial \rho _{b}}{\partial t}}。 原版安培环路定律的不足处 原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程，

∇ × �

� 0 � \nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}； 其中， � \mathbf {B} 是B场， � 0 \mu _{0}是磁常数， � {\mathbf {J}}是总电流。

取散度于这方程，则会得到

∇ ⋅ ( ∇ × � )

� 0 ∇ ⋅ � \nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})=\mu _{0}\nabla \cdot {\mathbf {J}}。 应用一个向量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，

∇ ⋅ ( ∇ × � )

0 \nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})=0。 这意味着电流密度的散度等于零：

∇ ⋅ �

0 \nabla \cdot {\mathbf {J}}=0。 在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。

一个正在充电的电容器，左边的圆形金属板，被一个假想的封闭圆柱表面 � \mathbb {S} 包围。这圆柱表面的右边表面 � \mathbb {R} 处于电容器的两块圆形金属板之间，左边表面 � \mathbb{L}处于最左边。没有任何传导电流通过表面 � \mathbb {R} ，而有电流 � I通过表面 � \mathbb{L}。 举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面 � \mathbb{L}的边缘为闭合回路 � \mathbb {C} 。应用安培定律，

∮ � � ⋅ � ℓ

� 0 � enc {\displaystyle \oint {\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu {0}I{\text{enc}}}。 在这里， � enc {\displaystyle I{\text{enc}}}是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路 � \mathbb {C} 。所以，这任意曲面可以是表面 � \mathbb{L}，而 � enc {\displaystyle I_{\text{enc}}}是 � I；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面 � − � {\mathbb {S}}-{\mathbb {L}}，而由于通过这任意曲面的电流是 0 {\displaystyle 0}， � enc {\displaystyle I_{\text{enc}}}是 0 {\displaystyle 0}。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。

为了解决上述难题，安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流[3]。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律[4]。

位移电流 主条目：位移电流 在自由空间内，位移电流跟电场随着时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度 � P来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。

位移电流密度 � � {\mathbf {J}}_{D}定义为[2]

� �

= � � �

∂ � ∂ � {\mathbf {J}}_{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathbf {D}}}{\partial t}}； 其中， � {\mathbf {D}}是电位移，定义为

�

= � � �

� 0 � + � {\mathbf {D}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}{\mathbf {E}}+{\mathbf {P}}； 其中， � 0 \varepsilon _{0}是电常数， � {\mathbf {P}}是电极化强度。

所以，位移电流密度分为两个部分：

� �

� 0 ∂ � ∂ � + ∂ � ∂ � \mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}。 这方程右手边的第一个项目是麦克斯韦修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。麦克斯韦修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。

原本定律的延伸：麦克斯韦-安培方程 将麦克斯韦修正项目加入安培方程：

∇ × �

� 0 � + � 0 � 0 ∂ � ∂ � \nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}} ; 或者，使用H场 � \mathbf{H}和位移电流 � \mathbf {D} 来表达，

∇ × �

� � + ∂ � ∂ � \nabla \times {\mathbf {H}}={\mathbf {J}}_{f}+{\frac {\partial {\mathbf {D}}}{\partial t}}。 这就是麦克斯韦-安培方程，可以补救原本安培环路定律的限制。

假若使用B场 � \mathbf {B} 的麦克斯韦-安培方程，由于习惯，时常会称 � 0 ∂ � ∂ � \varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，麦克斯韦能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。

等价证明 [显示]麦克斯韦-安培方程的等价证明 CGS单位制的安培方程 采用CGS单位制，安培方程的积分形式，包括麦克斯韦修正项目，可以写为

∮ � � ⋅ d ℓ

1 � ∫ � ( 4 � � + ∂ � ∂ � ) ⋅ d � \oint _{{\mathbb {C}}}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\int _{S}\left(4\pi {\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\right)\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}； 其中， � c是光速。

其微分形式可以写为

∇ × �

1 � ( 4 � � + ∂ � ∂ � ) {\mathbf {\nabla }}\times {\mathbf {B}}={\frac {1}{c}}\left(4\pi {\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\right)。 备注 在物理学上，英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义；在以下内文中，汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有：环路、回路、循环、环线、回线，或是闭环、闭路。 参见 电荷守恒定律 注释 沿着闭合回路 � \mathbb{C} 线积分的方向有两种（顺时针方向及逆时针方向）。还有， �

I!\ 是通过边缘为闭合回路 � \mathbb{C} 的曲面 � \mathbb {S} 的净自由电流，包括以某方向通过的电流，减去以相反方向通过的电流。但是，两种方向中，任何一种都可以选为正值。为了澄清这些模糊之处，必须使用右手定则：当右手食指朝着线积分方向指去时，伸直的大拇指会指向微小面元素向量，设定朝着这方向流动的电流为正值。 通过边缘为闭合回路 � \mathbb{C} 的曲面有无限多选择（设想在一个闭合铁环上悬跨着一个肥皂泡，假若轻轻地往这个肥皂泡吹一口气，则泡沫的形状会变形）。不过选择哪一曲面都无所谓，因为任何边缘为 � \mathbb{C} 的曲面皆可被证明为正确的选择。

本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名,转载请标明出处
最后编辑时间为: