在电动力学里，李纳-维谢势指的是移动中的带电粒子的推迟势。从麦克斯韦方程组，可以推导出李纳-维谢势；而从李纳-维谢势，又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场。但是，李纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为。
阿弗雷-玛丽·李纳于1898年，艾密·维谢于1900年，分别独立地研究求得李纳-维谢势的公式[1][2]。于1995年，Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子和四极子的推迟势[3]。
目录 1 历史重要性 2 物理理论 2.1 表达方程 2.2 推导 2.3 相对论性导引 2.4 物理意义 2.5 移动中的带电粒子的电磁场 3 参阅 4 参考文献 历史重要性 经典电动力学的研究，关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析李纳-维谢势和电磁波传播，所累积的心得，引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台，使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。
虽然经典电动力学表述的李纳-维谢势，可以很准确地描述，独立移动中的带电粒子的物理行为，但是在原子层次，这表述遭到严峻的考验，无法给出正确地答案。为此缘故，物理学家感到异常困惑，因而引发了量子力学的创立。
对于粒子发射电磁辐射的能力，量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述，表达于李纳-维谢势的方程，明显地违背了实验观测到的现象。例如，经典电动力学表述所预测的，环绕着原子不停运动的电子，由于连续不断地呈加速度状态，应该会不停地发射电磁辐射；但是，实际实验观测到的现象是，稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证，物理学家发现，电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级的跃迁（参阅玻尔原子）。在二十世纪后期，经过多年的改进与突破，量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。
物理理论
带电粒子的移动轨道。 假设，从源头位置 � ′ {\mathbf {r}}',!往检验位置 � \mathbf{r},!发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 � t,!抵达观测者的检验位置 � \mathbf{r},!，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 � � t_{r},!。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 � t,!，会不同于这电磁波发射的推迟时间 � � t_{r},!。推迟时间 � � t_{r},!定义为检验时间 � t,!减去电磁波传播的时间：
� �
= � � �
� − | � − � ′ | � t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}},!； 其中， � c,!是光速。
推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置，需要一段传播期间，称为时间延迟。与日常生活的速度来比，电磁波传播的速度相当快。因此，对于小尺寸系统，这时间延迟，通常很难察觉。例如，从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼，所经过的时间延迟，只有几兆分之一秒。但是，对于大尺寸系统，像太阳照射阳光到地球，时间延迟大约为8分钟，可以经过实验侦测察觉。
表达方程 假设，一个移动中的带电粒子，所带电荷为 � q,!，随着时间 � t,!而改变的运动轨道为 � ( � ) {\mathbf {w}}(t),!。设定向量 � {\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}},!为从带电粒子位置 � ′
� ( � ) {\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t),!到检验位置 � \mathbf{r},!的分离向量：
�
� − � ′
� − � ( � ) {\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}={\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t),!。 则李纳-维谢标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t),!和李纳-维谢矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t),!分别以方程表达为
Φ ( � , � )
1 4 � � 0
� � � � − � ⋅ � \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {v}}}},!、 � ( � , � )
� � 2 Φ ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)={\frac {{\mathbf {v}}}{c^{2}}}\Phi ({\mathbf {r}},,t),!； 其中， � 0 \epsilon _{0},!是真空电容率， � \mathbf{v},!是带电粒子的移动速度， � ( � )
� � � � {\mathbf {v}}(t)={\frac {d{\mathbf {w}}}{dt}},!。
虽然李纳-维谢标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t),!和李纳-维谢矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t),!的时间参数是 � t,!，方程右手边的几个变数，带电粒子位置 � ′ {\mathbf {r}}',!和速度 � \mathbf{v},!都是采推迟时间 � � t_{r},!时的数值：
� ′
� ( � � ) {\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t_{r}),!、 �
� ( � � ) {\mathbf {v}}={\mathbf {v}}(t_{r}),!。 推导 从推迟势，可以推导出李纳-维谢势。推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t),!与推迟矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t),!分别以方程定义为（参阅推迟势）
Φ ( � , � )
= � � �
1 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) � � 3 � ′ \Phi ({\mathbf {r}},,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {{{\mathcal {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})}{{\mathfrak {R}}}},d^{3}{\mathbf {r}}',!、 � ( � , � )
= � � �
� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) � � 3 � ′ {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu {0}}{4\pi }}\int {{{\mathcal {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',,t{r})}{{\mathfrak {R}}}},d^{3}{\mathbf {r}}',!； 其中， � ( � ′ , � � ) \rho ({\mathbf {r}}',,t{r}),!和 � ( � ′ , � � ) {\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',,t_{r}),!分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度， � ′ {\mathcal {V}}',!是积分的体空间， � 3 � ′ d^{3}{\mathbf {r}}',!是微小体元素， � {\mathfrak {R}},!向量还是采推迟时间 � � t_{r},!时的数值。
带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为
� ( � , � )
� � ( � − � ( � ) ) \rho ({\mathbf {r}},,t)=q\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t)),!； 其中， � ( � − � ( � ) ) \delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {w}}(t)),!是狄拉克δ函数。
代入推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t),!的方程，
Φ ( � , � )
� 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ − � ( � � ) ) � � 3 � ′ \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathcal {V}}'}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t{r}))}{{\mathfrak {R}}}},d^{3}{\mathbf {r}}',!。 由于狄拉克δ函数 � ( � ′ − � ( � � ) ) \delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t{r})),!的积分会从 � ′ {\mathbf {r}}',!的可能值中，挑选出当 � ′
� ( � � ) {\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t_{r}),!时，所有变数的数值。所以，在积分内的变数，都可以被提出积分，采推迟时间 � ′
� ( � � ) {\mathbf {r}}'={\mathbf {w}}(t_{r}),!时所计算出的数值。积分内，只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理：
Φ ( � , � )
� 4 � � 0 � ∫ � ′ � ( � ′ − � ( � � ) ) � 3 � ′ \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon {0}{\mathfrak {R}}}}\int {{{\mathcal {V}}'}}\delta ({\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t{r})),d^{3}{\mathbf {r}}',!。 由于推迟时间 � � t{r},!跟三个变数 � t,!、 � \mathbf{r},!、 � ′ {\mathbf {r}}',!有关，这积分比较难计算，需要使用换元积分法[4]。设定变数 �
� ′ − � ( � � ) {\boldsymbol {\eta }}={\mathbf {r}}'-{\mathbf {w}}(t_{r}),!。那么，其雅可比行列式 � {\mathfrak {J}},!为
�
∂ � ∂ � ′
| ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ ∂ � � ∂ � ′ | {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial {\mathbf {r}}'}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\end{vmatrix}},!。 行列式内分量很容易计算，例如：
∂ � � ∂ � ′
1 − ∂ � � ∂ � ′
1 − ∂ � � ∂ � �
∂ � � ∂ � ′
1 − � � ∂ � � ∂ � ′ {\cfrac {\partial \eta {x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}},!、 ∂ � � ∂ � ′
∂ � � ∂ � ′
∂ � � ∂ � �
∂ � � ∂ � ′
� � ∂ � � ∂ � ′ {\cfrac {\partial \eta {y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}},!。 按照上述方法，经过一番计算，可以得到
�
1 − � ⋅ ∇ ′ � �
1 − � ^ ⋅ � / � {\mathfrak {J}}=1-{\mathbf {v}}\cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\cdot {\mathbf {v}}/c,!。 所以，推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t),!的方程变为
Φ ( � , � )
� 4 � � 0 � ∫ � ′ � ( � ) ∂ � ′ ∂ � � 3 �
� 4 � � 0 � ∫ � ′ � ( � ) � � 3 �
� 4 � � 0 � ∫ � ′ � ( � ) 1 − � ^ ⋅ � / � � 3 � \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{{\mathcal {V}}'}}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial {\mathbf {r}}'}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}},d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{{\mathcal {V}}'}}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{{\mathfrak {J}}}},d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{{\mathcal {V}}'}}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\cdot {\mathbf {v}}/c}},d^{3}{\boldsymbol {\eta }},!。 这样，可以得到李纳-维谢标势：
Φ ( � , � )
1 4 � � 0
� � � � − � ⋅ � \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {v}}}},!。 类似地，也可以推导出李纳-维谢矢势。
相对论性导引 从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作 � ′{\displaystyle S^{\prime }}。在 � ′{\displaystyle S^{\prime }}系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。[5][6]:165ff
� ′
� 4 � � 0 � ′ {\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}、 � ′
0 {\displaystyle A'=0}。 标势和矢势从 � ′{\displaystyle S^{\prime }}系到 � S系的变换满足洛仑兹变换：
�
� ( � ′ − � � � ′ ) {\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}、 �
� ( − � ′ + � � ′ / � ) {\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}； 其中， �\gamma 是洛仑兹因子， �
� / � {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}。
代入后可以得到：
�
� � 4 � � 0 � ′ {\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}、 �
� � � 4 � � 0 � ′ � {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}。 � ′ {\displaystyle {\mathfrak {R}}'}和 � {\mathfrak {R}}的变换关系也由洛仑兹变换给出：
� ′
� Δ � ′
� � ( Δ � − � ⋅ � / � )
� ( � − � ⋅ � ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})} 将 � ′ {\displaystyle {\mathfrak {R}}'}的表达式代入即得到李纳-维谢势。
物理意义 对于固定不动的带电粒子，电势的方程为
Φ ( � , � )
1 4 � � 0
� � \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{{\mathfrak {R}}}},!。 这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子 � {\mathfrak {J}},!。追根究柢，原因是移动中的带电粒子，虽然理论上是点粒子，但是由于它是在移动中，在积分里所占有的体积显得比较大，所带的电荷因此比较多，所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。[5]
移动中的带电粒子的电磁场 从李纳-维谢势，可以计算电场 � \mathbf {E} ,!和磁场 � \mathbf {B} ,!：
�
− ∇ Φ − ∂ � ∂ � {\mathbf {E}}=-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}},!、 �
∇ × � {\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}},!。 求得的电场 � \mathbf {E} ,!和磁场 � \mathbf {B} ,!分别为[7]
� ( � , � )
� 4 � � 0
� ( � ⋅ � ) 3 [ ( � 2 − � 2 ) � + � × ( � × � ) ] {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {{\mathfrak {R}}}{({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\cdot {\mathbf {u}})^{3}}}[(c^{2}-v^{2}){\mathbf {u}}+{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}\times ({\mathbf {u}}\times {\mathbf {a}})],!、 � ( � , � )
1 � � ^ × � ( � , � ) {\mathbf {B}}({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{c}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}\times {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},,t),! ; 其中，向量 � {\mathbf {u}},!设定为 � � ^ − � c{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}-{\mathbf {v}},!，带电粒子的加速度是 �
� � � � {\mathbf {a}}={\frac {d{\mathbf {v}}}{dt}},!。
检查电场 � \mathbf {E} ,!的方程，右边第一项称为广义库仑场，又称为速度场，因为这项目与加速度无关。当 � ≪ � v\ll c,!，粒子速度超小于光速时， � → � � ^ {\mathbf {u}}\to c{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}},!，这项目会趋向库仑方程：
�
� 4 � � 0
� ^ � 2 {\mathbf {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}},!。 右边第二项称为辐射场，又称为加速度场，因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。
参阅 电磁波方程 非齐次的电磁波方程 杰斐缅柯方程 拉莫方程 阿布拉罕-洛伦兹力 电磁场的数学表述
本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名,转载请标明出处
最后编辑时间为: