基尔霍夫电路定律（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基尔霍夫定律，指的是两条电路学定律，基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年，古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在，这定律被广泛地应用于电气工程学。

从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

目录 1 基尔霍夫电流定律 1.1 导引 1.2 含时电荷密度 1.3 应用 2 基尔霍夫电压定律 2.1 电场与电势 2.2 理论限制 3 频域 4 参见 5 参考 6 外部链接 基尔霍夫电流定律

所有进入节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。对于本图案例， � 1 + � 4

� 2 + � 3 i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3} 。 基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明[1]：

所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。 或者，更详细描述，

假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。 以方程表达，对于电路的任意节点，

∑ �

1 � � �

0 \sum {k=1}^{n}i{k}=0 ； 其中， � � i_{k} 是第 � k 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 � k 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。[2]

导引 思考电路的某节点，跟这节点相连接有 � n 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 � i 等于流过支路 � k 的电流 � � i_{k} 的代数和：

�

∑ �

1 � � � i=\sum {k=1}^{n}i{k} 。 将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程：

�

∑ �

1 � � � q=\sum {k=1}^{n}q{k} ； 其中， �

∫ 0 � � ( � ′ ) d � ′ q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t' 是累积于这节点的总电荷， � �

∫ 0 � � � ( � ′ ) d � ′ q_{k}=\int {0}^{t}i{k}(t')\mathrm {d} t' 是流过支路 � k 的电荷， � t 是检验时间， � ′ t' 是积分时间变数。

假设 �

0 q>0 ，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， � q 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以， �

0 q=0 、 �

0 i=0 ，基尔霍夫电流定律成立：

∑ �

1 � � �

0 \sum {k=1}^{n}i{k}=0 。 含时电荷密度 从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 � � \mathbf {J} _{D} 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体器件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

∇ ⋅ �

− � 0 ∇ ⋅ ∂ � ∂ �

− ∂ � ∂ � \nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}} ； 其中， � \mathbf {J} 是电流密度， � 0 \epsilon _{0} 是电常数， � \mathbf {E} 是电场， �\rho 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 � Q 的流失率：

∮ � � ⋅ d �

− d � d � \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}} 。 基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 �\rho ，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

应用 以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

沿着闭合回路所有器件两端的电压的代数和等于零。对于本图案例， � 1 + � 2 + � 3 − � 4

0 v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0 。 基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明[1]：

沿着闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零。 或者，换句话说，

沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。 以方程表达，对于电路的任意闭合回路，

∑ �

1 � � �

0 \sum {k=1}^{m}v{k}=0 ； 其中， � m 是这闭合回路的器件数目， � � v_{k} 是器件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。[需要解释]

电场与电势 在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

� ( � )

� � � − ∫ � � ⋅ d ℓ \phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }},! ； 其中， � ( � ) \phi (\mathbf {r} ) 是电势， � \mathbf {E} 是电场， � \mathbb {L} 是从参考位置到位置 � \mathbf {r} 的路径， d ℓ\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }} 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

∮ � � ⋅ � �

0 \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0 ； 其中， � \mathbb {C} 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 � \mathbb {C} 的磁通量为常数，则这方程成立。

这方程指明，电场沿着闭合回路 � \mathbb {C} 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制 由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 � \mathbb {C} 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 � {\mathcal {E}} 出现于闭合回路 � \mathbb {C} 。所以，电场沿着闭合回路 � \mathbb {C} 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 � � {\mathcal {E}}_{k} 。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

频域 思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

∑ �

1 � � �

∑ �

1 � � � cos ⁡ ( � � + � � )

R e { ∑ �

1 � � � � � ( � � + � � ) }

R e { ( ∑ �

1 � � � � � � � ) � � � � }

0 \sum {k=1}^{n}i{k}=\sum {k=1}^{n}I{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big {}\sum {k=1}^{n}I{k}e^{j(\omega t+\theta {k})}{\Big }}=\mathrm {Re} {\Big {}\left(\sum {k=1}^{n}I{k}e^{j\theta {k}}\right)e^{j\omega t}{\Big }}=0 ； 其中， � � i{k} 是第 � k 个进入或离开这节点的电流， � � I{k} 是其振幅， � � \theta _{k} 是其相位， �\omega 是角频率， � t 是时间。

对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量 � �

� � � � � � \mathbb {I} {k}=I{k}e^{j\theta _{k}} ，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达，

∑ �

1 � � �

0 \sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0 。 频域的基尔霍夫电流定律表明：

所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。 这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

沿着闭合回路所有器件两端的电压相量的代数和等于零。 以方程表达，

∑ �

1 � � �

0 \sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0 ； 其中， � � \mathbb {V} _{k} 是闭合回路的器件两端的电压相量。

这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。

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