初等代数是一个初等且相对简单形式的代数，教导对象为还没有数学和算术方面较深知识的中小学生，大学学习的则称为高等代数。当在算术中只有数字与其运算（如：加、减、乘、除）出现时，在代数中也会使用字母符号诸如 � x、 � y 或 � a、 � b 等表示数字，习惯上用前者表示未知数与变量，用后者表示任意的已知数。

目录 1 概述 2 定理 2.1 与代数运算相关的定理 [1] 2.2 与“等于”相关的定理 2.3 其他定理 3 例子 3.1 一元一次方程 3.2 一元二次方程 3.3 线性方程组 3.3.1 求解的第一种方法 3.3.2 求解的第二种方法 4 另见 5 参考 6 脚注概述初等代数中还会使用诸如 � ( � ) f(x)、 � ( � ) g(x)、 � ( � ( � ) ) {\displaystyle f(g(x))}、 � ( � 1 , � 2 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2})} 等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

它使得算术等式（或不等式）可以被描述成命题或定理（如： ∀{\displaystyle \forall } 实数 � a 和 � b， �

�

� + � a + b = b + a），因此这是系统化学习实数性质的第一步。

它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里，变量或许代表某一还不确定，但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。它允许探究数量之间的数学关系的可能（如“若你卖了 � x 张票，你的收益将有 ( 3 � + 10 ) {\displaystyle (3x+10)} 元”）。这三个是初等代数的主要组成部分，以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。[原创研究？]

在初等代数里，表示式包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项（习惯上）写在表示左边（参考多项式），举几个例子来说：

� + 3 x+3 � 2 + 2 � − 3 y^{{2}}+2x-3 � 7 + � ( � + � 3 ) + 42 � − �{\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+{\frac {42}{y}}-\pi }。在更进阶的代数里，表示式也会包含有初等函数。

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立（如 � + �

� + � a + b = b + a）；这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确（如 � 2 − 1

4 x^{{2}}-1=4），此一使等式成立的变量值则称为这等式的解。

定理与代数运算相关的定理 [1] 加法是一可交换的运算（两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样）。减法是加法的逆运算。减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的： � − �

� + ( − � ) a-b=a+(-b) 例如：若 5 + �

3 5+x=3 ，则 �

− 2 x=-2。乘法是一可交换的运算。除法是乘法的逆运算。除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的： � �

� ⋅ 1 � {\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}} 例如：若 3 �

2 {\displaystyle 3x=2} ，则 �

2 3 {\displaystyle x={\frac {2}{3}}}。幂不是一可交换的运算。但幂却有两个逆运算：对数和开方（如平方根）。例如：若 3 �

10 3^{x}=10，则 �

log 3 ⁡ 10 x=\log _{3}10。例如：若 � 2

10 x^{{2}}=10，则 �

10 � {\displaystyle x={\sqrt {10}}_{\mathbb {C} }}，即 � 1

10 � {\displaystyle x_{1}={\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}， � 2

− 10 � {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}。负数的平方根不存在于实数内。（参考：复数）加法的结合律性质： ( � + � ) + �

� + ( � + � ) (a+b)+c=a+(b+c)。乘法的结合律性质： ( � � ) �

� ( � � ) . (ab)c=a(bc).。对应加法的乘法分配律性质： � ( � + � )

� � + � � c(a+b)=ca+cb。对应乘法的幂分配律性质： ( � � ) �

� � � � (ab)^{c}=a^{c}b^{c}。幂的乘法： � � � �

� � + � a^{b}a^{c}=a^{{b+c}}。幂的幂： ( � � ) �

� � � (a^{b})^{c}=a^{{bc}}。与“等于”相关的定理 �

� a=a （等于的自反性）。若 �

� a=b，则 �

� b=a （等于的对称性）。若 �

� a=b 且 �

� b=c，则 �

� a=c （等于的传递律）。若 � − �

� a-b=n，则 � 2 − � 2

� � + � � a^{2}-b^{2}=na+nb。其他定理若 �

� a=b 且 �

� c=d，则 � + �

� + � a+c=b+d。若 �

� a=b，则对任一 c， � + �

� + � a+c=b+c（等于的可加性）。若 �

� a=b 且 �

� c=d，则 � � ac = � � bd。若 �

� a=b，则对任一 c， � �

� � ac=bc（等于的可乘性）。若两个符号相等，则一个总是能替换另一个（替换原理）。若 �

� a > b 且 �

� b>c，则 �

� a>c（不等式的传递律）。若 �

� a > b，则对任一 c， � + �

� + � a + c > b + c。若 �

� a > b 且 �

0 c > 0，则 � �

� � ac > bc。若 �

� a > b 且 � < 0 c < 0，则 � � < � � ac < bc。例子一元一次方程最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如：

2 � + 4

2x+4=12., 其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了，等式的另一边即是此变量的值。例如，将上面式子两边同时减去4：

2 � + 4 − 4

12 − 4 2x+4-4=12-4,，简化后即为

2 �

2x=8., 再同时除以2：

2 � 2

8 2 {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}, 再简化后即为答案：

�

x=4., 一般的情形

� � + �

� ax+b=c 也可以依同样的方式得出答案来：

�

� − � � x={\frac {c-b}{a}} 【这就是一元一次方程简单的说明】

一元二次方程一元二次方程可以表现成 � � 2 + � � + �

0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}，在这 � a 不等于零（假如 � a 等于零，则此方式为一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必须保持二次的形态，如 � � 2 {\displaystyle ax^{2}}，二次方程式可以通过因式分解求解（多项式展开的逆过程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例：

� 2 + 3 �

x^{{2}}+3x=0., 这相当于

� ( � + 3 )

x(x+3)=0., 0 和 -3 是它的解，因为把 � x 置为 0 或 -3 便使上述等式成立。所有二次方程式在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如：

� 2 + 1

0 x^{{2}}+1=0, 没有实数解，因为没有实数的平方是 -1。有时一个二次方程式会有2重根，例如：

( � + 1 ) 2

(x+1)^{{2}}=0., 在这个方程中，-1是2重根。

线性方程组主条目：线性方程组在线性方程组内，如两个变量的方程组内有两个方程式的话，通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变量。

下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：

4 � + 2 �

14 4x+2y=14, 2 � − �

2x-y=1., 求解的第一种方法将第2个等式的左右项各乘以2，

4 � + 2 �

14 4x+2y=14, 4 � − 2 �

4x-2y=2., 再将两式相加，

8 �

16 , ,8x=16, 上式可化简为

�

x=2., 因为已知 �

2 {\displaystyle x=2}，于是就可以由两式中的任意一个推断出 �

3 {\displaystyle y=3}。所以这个问题的完整解为

{ �

2 �

{\begin{cases}x=2\y=3.\end{cases}}, 注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法； � y 也可以在 � x 之前求得。

求解的第二种方法另一种求解的方法为替代。

{ 4 � + 2 �

14 2 � − �

{\begin{cases}4x+2y=14\2x-y=1.\end{cases}}, � y 的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程：

2 � − �

1 2x-y=1, 由方程的两边减去 2 � 2x：

2 � − 2 � − �

1 − 2 � 2x-2x-y=1-2x, − �

1 − 2 � -y=1-2x, 再乘上 -1：

�

2 � − 1. y=2x-1., 将此 � y 值放入原方程组的第一个方程式：

4 � + 2 ( 2 � − 1 )

14 4x+2(2x-1)=14, 4 � + 4 � − 2

14 4x+4x-2=14, 8 � − 2

14 8x-2=14, 在方程的两端加上 2：

8 � − 2 + 2

14 + 2 8x-2+2=14+2, 8 �

16 8x=16, 此可简化成

�

2 x=2,。将此值代回两个方程式中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。

{ �

2 �

{\begin{cases}x=2\y=3.\end{cases}},

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的， � y 也可以在 � x 之前求得。

另见等量公理代数算术二元运算高斯消元法数学教育数线多项式

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初等代数

�

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立（如 � + �

� + � a + b = b + a）；这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确（如 � 2 − 1

定理 与代数运算相关的定理 [1] 加法是一可交换的运算（两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样）。 减法是加法的逆运算。 减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的： � − �

� + ( − � ) a-b=a+(-b) 例如：若 5 + �

3 5+x=3 ，则 �

− 2 x=-2。 乘法是一可交换的运算。 除法是乘法的逆运算。 除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的： � �

� ⋅ 1 � {\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}} 例如：若 3 �

2 {\displaystyle 3x=2} ，则 �

2 3 {\displaystyle x={\frac {2}{3}}}。 幂不是一可交换的运算。 但幂却有两个逆运算：对数 和 开方（如平方根）。 例如：若 3 �

10 3^{x}=10，则 �

log 3 ⁡ 10 x=\log _{3}10。 例如：若 � 2

10 x^{{2}}=10，则 �

10 � {\displaystyle x={\sqrt {10}}_{\mathbb {C} }}，即 � 1

10 � {\displaystyle x_{1}={\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}， � 2

− 10 � {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}。 负数的平方根不存在于实数内。（参考：复数） 加法的结合律性质： ( � + � ) + �

� + ( � + � ) (a+b)+c=a+(b+c)。 乘法的结合律性质： ( � � ) �

� ( � � ) . (ab)c=a(bc).。 对应加法的乘法分配律性质： � ( � + � )

� � + � � c(a+b)=ca+cb。 对应乘法的幂分配律性质： ( � � ) �

� � � � (ab)^{c}=a^{c}b^{c}。 幂的乘法： � � � �

� � + � a^{b}a^{c}=a^{{b+c}}。 幂的幂： ( � � ) �

� � � (a^{b})^{c}=a^{{bc}}。 与“等于”相关的定理 �

� a=a （等于的自反性）。 若 �

� a=b，则 �

� b=a （等于的对称性）。 若 �

� a=b 且 �

� b=c，则 �

� a=c （等于的传递律）。 若 � − �

� a-b=n，则 � 2 − � 2

� � + � � a^{2}-b^{2}=na+nb。 其他定理 若 �

� a=b 且 �

� c=d，则 � + �

� + � a+c=b+d。 若 �

� a=b，则对任一 c， � + �

� + � a+c=b+c（等于的可加性）。 若 �

� a=b 且 �

� c=d，则 � � ac = � � bd。 若 �

� a=b，则对任一 c， � �

2 � + 4

2 � + 4 − 4

2 �

2 � 2

�

� � + �

�

一元二次方程 一元二次方程可以表现成 � � 2 + � � + �

� 2 + 3 �

� ( � + 3 )

� 2 + 1

( � + 1 ) 2

4 � + 2 �

14 4x+2y=14, 2 � − �

4 � + 2 �

14 4x+2y=14, 4 � − 2 �

8 �

�

x=2., 因为已知 �

2 {\displaystyle x=2}，于是就可以由两式中的任意一个推断出 �

{ �

2 �

{ 4 � + 2 �

14 2 � − �

2 � − �

2 � − 2 � − �

1 − 2 � 2x-2x-y=1-2x, − �

�

4 � + 2 ( 2 � − 1 )

14 4x+2(2x-1)=14, 4 � + 4 � − 2

14 4x+4x-2=14, 8 � − 2

8 � − 2 + 2

14 + 2 8x-2+2=14+2, 8 �

�

{ �

2 �

定理与代数运算相关的定理 [1] 加法是一可交换的运算（两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样）。减法是加法的逆运算。减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的： � − �

− 2 x=-2。乘法是一可交换的运算。除法是乘法的逆运算。除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的： � �

2 3 {\displaystyle x={\frac {2}{3}}}。幂不是一可交换的运算。但幂却有两个逆运算：对数和开方（如平方根）。例如：若 3 �

log 3 ⁡ 10 x=\log _{3}10。例如：若 � 2

− 10 � {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {10}}_{\mathbb {R} }}。负数的平方根不存在于实数内。（参考：复数）加法的结合律性质： ( � + � ) + �

� + ( � + � ) (a+b)+c=a+(b+c)。乘法的结合律性质： ( � � ) �

� ( � � ) . (ab)c=a(bc).。对应加法的乘法分配律性质： � ( � + � )

� � + � � c(a+b)=ca+cb。对应乘法的幂分配律性质： ( � � ) �

� � � � (ab)^{c}=a^{c}b^{c}。幂的乘法： � � � �

� � + � a^{b}a^{c}=a^{{b+c}}。幂的幂： ( � � ) �

� � � (a^{b})^{c}=a^{{bc}}。与“等于”相关的定理 �

� a=a （等于的自反性）。若 �

� b=a （等于的对称性）。若 �

� a=c （等于的传递律）。若 � − �

� � + � � a^{2}-b^{2}=na+nb。其他定理若 �

� + � a+c=b+d。若 �

� + � a+c=b+c（等于的可加性）。若 �

� c=d，则 � � ac = � � bd。若 �

一元二次方程一元二次方程可以表现成 � � 2 + � � + �