实分析，也称为实数分析、实变函数论（英语：Real analysis、英语：Theory of functions of a real variable），是处理实数及实函数的数学分析。专门研究实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性、光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。

目录 1 内容 1.1 实数的构造 1.2 实数的有序性 1.3 序列 1.4 极限 1.5 连续函数 1.6 级数 1.7 微分 1.8 积分 1.8.1 黎曼积分 1.8.2 勒贝格积分 1.9 分布 1.10 和复变分析的关系 2 重要结果 3 相关条目 4 参考资料内容实数的构造主条目：实数的构造有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及算子理论中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间及正算子的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估。

序列主条目：序列和数列序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数[1]。例如，一个实数的序列为以下定义的映射 � : � → � ,

� ↦ � � {\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}}，常会表示为 ( � � )

( � � ) � ∈ �

( � 1 , � 2 , � 3 , ⋯ ) {\displaystyle (a_{n})=(a_{n}){n\in \mathbb {N} }=(a{1},a_{2},a_{3},\cdots )}。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在 lim � → ∞ � � {\textstyle \lim {n\to \infty }a{n}} ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。

极限主条目：极限 (数学) 极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值[2]。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。

连续函数主条目：连续函数 (拓扑学) 若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中

� : � → � . {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbf {R} .} 是一个定义在实数 � {\displaystyle {\boldsymbol {R}}}以内子集的函数，子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括 �

� {\displaystyle I={\boldsymbol {R}}}（所有实数）、以下的开区间

�

( � , � )

{ � ∈ � | � < � < � } , {\displaystyle I=(a,b)={x\in \mathbf {R} ,|,a<x<b},} 或闭区间

�

[ � , � ]

{ � ∈ � | � ≤ � ≤ � } . {\displaystyle I=[a,b]={x\in \mathbf {R} ,|,a\leq x\leq b}.} 因此 � a及 � b是实数。

一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数 � : � → � f:X\rightarrow Y为一致连续的条件是针对所有大于0的实数 �\varepsilon ，存在一实数 �

0 \delta >0，使得针对所有的 � , � ∈ � , | � − � | < �{\displaystyle x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta }即表示 ⟹ | � ( � ) − � ( � ) | < �{\displaystyle \implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon }。

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时， �\delta 值只和 �\varepsilon 值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味着均匀连续。

级数主条目：级数给定一无穷序列 ( � � ) (a_{n})，即可定义相关的级数为 � 1 + � 2 + � 3 + ⋯

∑ � ∈ � � � {\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum {n\in \mathbb {N} }a{n}}，有时会简称为 ∑ � � {\textstyle \sum a_{n}}。级数的部分和 ∑ � � {\textstyle \sum a_{n}}为 � �

∑ �

1 � � � {\textstyle s_{n}=\sum {j=1}^{n}a{j}}。级数 ∑ � � {\textstyle \sum a_{n}}收敛的条件是部分和的数列 ( � � ) {\displaystyle (s_{n})}收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和 �

∑ �

1 ∞ � � {\textstyle s=\sum {n=1}^{\infty }a{n}}定义为 �

lim � → ∞ � � {\textstyle s=\lim {n\to \infty }s{n}}.

等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：

∑ �

1 ∞ 1 2 �

1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯

1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}. 以下的调和级数即为发散级数：

∑ �

1 ∞ 1 �

1 + 1 2 + 1 3 + ⋯

∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }. （此处“

∞{\displaystyle =\infty }”不是严谨的表示方式，只是表示部分和会无限制地増长）

微分主条目：微分函数 � f在 � a位置的导数为以下的函数极限

� ′ ( � )

lim ℎ → 0 � ( � + ℎ ) − � ( � ) ℎ {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} 若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类 � 0 C^{0}包括所有连续函数，分类 � 1 C^1包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类 � 1 C^1是指其导数在分类 � 1 C^1中的函数。一般来说，分类 � � C^{k}可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类 � 0 C^{0}是所有的连续函数，而分类 � � C^{k}（ � k为正整数）是所有可微，而且其导数为 � � − 1 {\displaystyle C^{k-1}}的函数。而分类 � � C^{k}包括在分类 � � − 1 {\displaystyle C^{k-1}}中，对所有的正整数 � k都成立。分类 � ∞C^{\infty }是所有 � � C^{k}的交集，其中 � k为所有的非负整数。 � �C^\omega包括所有的解析函数，是分类 � ∞C^{\infty }的严格子集。

积分黎曼积分主条目：黎曼积分黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令 [ � , � ] [a,b]为实数下的封闭区间，则在区间 [ � , � ] [a,b]内的标记分区为有限数列

�

� 0 ≤ � 1 ≤ � 1 ≤ � 2 ≤ � 2 ≤ ⋯ ≤ � � − 1 ≤ � � ≤ � �

� . {\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.,!} 将区间 [ � , � ] [a,b]分隔为 � n个下标为 � i子区间 [ � � − 1 , � � ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}，每一个用不同的点 � � ∈ [ � � − 1 , � � ] {\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

∑ �

1 � � ( � � ) Δ � ; {\displaystyle \sum {i=1}^{n}f(t{i})\Delta _{i};} 则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令 Δ �

� � − � � − 1 {\displaystyle \Delta {i}=x{i}-x_{i-1}}为子区间 � i的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度 m a x �

1 … � Δ � {\displaystyle \mathrm {max} _{i=1\ldots n}\Delta _{i}}。函数 � f在区间 [ � , � ] [a,b]内的黎曼积分等于 � S若：

对所有 �

0 \varepsilon >0，存在 �

0 \delta >0使得，对于任何有标示，且网格小于 �\delta 的区间 [ � , � ] [a,b]，以下的式子成立 | � − ∑ �

1 � � ( � � ) Δ � | < � . {\displaystyle \left|S-\sum {i=1}^{n}f(t{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .} 若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分主条目：勒贝格积分勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

分布主条目：分布 (数学分析) 分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。

实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。

重要结果实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

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