。求边 � � AE 的所有可能长度。

解： 为了不失一般性，假设 � A, � B, � C, � D, � E 为 �

( 0 , 0 ) A=(0,0), �

( � , 0 ) B=(a,0), �

( � , � ) C=(b,e), �

( � , � ) D=(c,f), �

( � , � ) E=(d,g)。

应用中点公式，点 � F, � G, � H, � I, � X, � Y 位于

� ( � 2 , 0 ) F\left({\frac {a}{2}},0\right), � ( � + � 2 , � 2 ) G\left({\frac {a+b}{2}},{\frac {e}{2}}\right), � ( � + � 2 , � + � 2 ) H\left({\frac {b+c}{2}},{\frac {e+f}{2}}\right), � ( � + � 2 , � + � 2 ) I\left({\frac {c+d}{2}},{\frac {f+g}{2}}\right), � ( � + � + � 4 , � + � 4 ) X\left({\frac {a+b+c}{4}},{\frac {e+f}{4}}\right), � ( � + � + � + � 4 , � + � + � 4 ) . Y\left({\frac {a+b+c+d}{4}},{\frac {e+f+g}{4}}\right). 使用距离公式，

� �

� 2 + � 2 AE={\sqrt {d^{2}+g^{2}}} 以及

� �

� 2 16 + � 2 16

� 2 + � 2 4 . XY={\sqrt {{\frac {d^{2}}{16}}+{\frac {g^{2}}{16}}}}={\frac {{\sqrt {d^{2}+g^{2}}}}{4}}. 由于 � � XY 为整数，

� � ≡ 0 ( mod 4 ) AE\equiv 0{\pmod {4}} (见同余) 因此 � �

4 AE=4.

现代解析几何 主条目：代数几何 解析簇(analytic variety)定义为几个解析函数的共同解集。类似与实数与复数的代数簇。任何复流形都是一种解析簇。由于解析簇可能有奇点，但不是所有解析簇都是复数。.

解析几何总体上来说等同与实数与复数代数几何，让-皮埃尔·塞尔在他的著作《代数几何与解析几何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)阐述了这个观点。然而，两个领域依然有其独特性，而证明方式也十分不同，代数几何也包括几何的有限特征。

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