在数论中，几何数论（英语：Geometry of numbers）研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在泛函分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题。[1]
目录 1 闵可夫斯基的结果 2 近现代几何数论研究 3 对泛函分析的影响 4 参考文献 5 延伸阅读 闵可夫斯基的结果 主条目：闵可夫斯基定理 闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理： 假设Γ是在n维欧氏空间Rn的格和K是中心对称凸体， � � � ( � )
2 � � � � ( � � / Γ ) {\displaystyle vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )} ，则K包含Γ非零的向量。 闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界，为 λk，称为连续最低。 则λK在Γ中ķ线性无关，则有：
� 1 � 2 ⋯ � � � � � ( � ) ≤ 2 � � � � ( � � / Γ ) . {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).} 近现代几何数论研究 在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。
施密特子空间定理 在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明 设n是正整数，如果n个n维线性型L1,...,Ln都具有代数系数，并且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: | � 1 ( � ) ⋯ � � ( � ) | < | � | − �{\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }} 的n维非零整数点x都在有限多个Qn的真子空间内。 对泛函分析的影响 始于闵可夫斯基的几何数论在泛函分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫的定理证明有界闭对称凸集生成Banach空间的拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。
本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名,转载请标明出处
最后编辑时间为: