测度（英语：Measure）是种对特定一群子集指定数值的函数，直观上相当于体积，也就是指定一个代表体积大小的数值给每个可以测量大小的空间。传统的黎曼积分是在区间上进行的，为了把积分推广到更一般的集合上，人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它从 � n 维欧式空间 � � {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 出发，概括了传统长度、面积和体积等等的概念。

研究测度的学问被统称为测度论，因为指定的数值通常是非负实数，所以测度论通常会被视为实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

目录 1 定义 1.1 定义的分歧 2 性质 2.1 单调性 2.2 可数个可测集的并集的测度 2.3 可数个可测集的交集的测度 3 完备性 4 例子 5 相关条目 6 参考文献 7 外部链接 定义 要正式定义测度之前，必须先要决定怎样的一群子集合，是“可以测量的”，详细请见σ-代数。

集合 � X 有σ-代数 Σ\Sigma ，函数 � : Σ → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,,\infty )} 若满足：

� ( ∅ )

0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} (空集合的测度为零) 可数可加性( �\sigma -可加性)：若 { � � ∈ Σ } � ∈ � {\displaystyle {E_{n}\in \Sigma }_{n\in \mathbb {N} }} 是 Σ\Sigma 中两两不相交的集合序列，也就是说，对所有 � ≠ � i\neq j 都有 � � ∩ � �

∅{\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }，则有 � ( ⋃ � ∈ � � � )

∑ �

1 ∞ � ( � � ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup {n\in \mathbb {N} }E{n}\right)=\sum {n=1}^{\infty }\mu (E{n})}。 那 �\mu 被称为定义在 Σ\Sigma 上的一个非负测度，或简称为测度。为了叙述简便起见，有时会直接称 ( � , Σ , � ) {\displaystyle (X,,\Sigma ,,\mu )} 为一测度空间。

如果将 �\mu 的值域扩展到复数，也就是说 � : Σ → � {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} } ，那 �\mu 会被进一步称为复数测度。[1]

定义的分歧 照着上述定义中的可数可加性去推论，不少母集合本身的测度值（如对 � � {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 本身取勒贝格测度）会变成无穷大而实际上不存在，为了让上述定义在最小更动的情况下适用，不少书籍[2]会形式上将无穷大视为一个数，而容许测度取值为无穷大；容许这样定义的书籍会将只容许有限实数值的测度称为（非负）有限测度。但容许测度取值无穷大须额外申明，至少有个可测集合 � ∈ Σ{\displaystyle E\in \Sigma } 使得 � ( � ) ≥ 0 {\displaystyle \mu (E)\geq 0} ，否则这样会容许测度值全为无穷大的病态情况。

更进一步的，如果对测度空间 ( � , Σ , � ) {\displaystyle (X,,\Sigma ,,\mu )} 来说，母集合 � X 都可以表示为某个 Σ\Sigma 的可测集合序列 { � � ∈ Σ } � ∈ � {\displaystyle {E_{n}\in \Sigma }_{n\in \mathbb {N} }} 的并集：

�

⋃ � ∈ � � � {\displaystyle X=\bigcup {n\in \mathbb {N} }E{n}} 则有限测度 �\mu 会被进一步的称为（非负）σ-有限测度。

性质 单调性 测度 �

\mu\ 的单调性： 若 � 1

E_1\ 和 � 2

E_2\ 为可测集，而且 � 1 ⊆ � 2 E_1 \subseteq E_2，则 � ( � 1 ) ≤ � ( � 2 ) \mu(E_1) \leq \mu(E_2)。

可数个可测集的并集的测度 若 � 1 , � 2 , � 3 ⋯E_1, E_2, E_3\cdots为可测集（不必是两两不交的），则集合 � �

E_n\ 的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

� ( ⋃ �

1 ∞ � � ) ≤ ∑ �

1 ∞ � ( � � ) \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) 如果还满足并且对于所有的 �

n\ ， � �

E_n\ ⊆ � � + 1

E_{n+1}\ ，则如下极限式成立：

� ( ⋃ �

1 ∞ � � )

lim � → ∞ � ( � � ) . \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i). 可数个可测集的交集的测度 若 � 1 , � 2 , ⋯E_1,E_2,\cdots为可测集，并且对于所有的 �

n\ ， � � + 1

E_{n+1}\ ⊆ � �

E_n\ ，则 � �

E_n\ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 � �

E_n\ 的测度有限，则有极限：

� ( ⋂ �

1 ∞ � � )

lim � → ∞ � ( � � ) \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) 如若不假设至少一个 � �

E_n\ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 � ∈ � n\in \mathbb{N}，令

� �

[ � , ∞ ) ⊆ � E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R} 这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性 对于一个可测集 � N，若 � ( � )

0

\mu(N)=0\ 成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑 � X的所有与某个可测集 � E仅差一个可去集的子集 � F，可得到 � E与 � F的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集 � F生成的σ代数，并定义 � ( � )

� ( � ) {\displaystyle \mu (F)=\mu (E)}，所得到的测度即为完备测度。

例子 下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

计数测度　定义为 � ( � )

�

\mu(S) = S\ 的“元素个数”。 一维勒贝格测度是定义在 � \mathbb {R} 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 � ( [ 0 , 1 ] )

1

\mu([0,1])=1\ 的唯一测度。 Circular angle测度是旋转不变的。 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。 恒零测度定义为 � ( � )

0

\mu(S) = 0\ ，对任意的 �

S\ 。 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目 外测度（Outer measure） 几乎处处（Almost everywhere） 勒贝格测度（Lebesgue measure） 勒贝格积分 法图引理(Fatou's lemma) 富比尼定理(Fubini's theorem) 可测基数

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