在电磁学里，麦克斯韦应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。麦克斯韦应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用洛伦兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于麦克斯韦应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

目录 1 导引 2 麦克斯韦应力张量的性质 3 动量守恒定律 4 相关条目 5 参考文献 导引 为了方便参考，先列出麦克斯韦方程组：

麦克斯韦方程组（国际单位制） 名称 微分形式 高斯定律 � ⋅ �

� � 0 {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} 高斯磁定律 � ⋅ �

0 {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}=0 法拉第感应定律 � × �

− ∂ � ∂ � {\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}} 麦克斯韦-安培定律 � × �

� 0 � + � 0 � 0 ∂ � ∂ �

{\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\ 其中， � \mathbf {E} 是电场， � \mathbf {B} 是磁场， �\rho 是电荷密度， � \mathbf {J} 是电流密度， � 0 \varepsilon _{0} 是电常数， � 0 \mu _{0} 是磁常数。

从洛伦兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 � \mathbf{f} 是

�

� � + � × � {\mathbf {f}}=\rho {\mathbf {E}}+{\mathbf {J}}\times {\mathbf {B}} 。 应用高斯定律和麦克斯韦-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程：

�

� 0 ( � ⋅ � ) � + 1 � 0 ( � × � ) × � − � 0 ∂ � ∂ � × � {\mathbf {f}}=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}\right){\mathbf {E}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\times {\mathbf {B}}-\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}} 。 应用乘积法则和法拉第感应定律：

∂ ∂ � ( � × � )

∂ � ∂ � × � + � × ∂ � ∂ �

∂ � ∂ � × � − � × ( � × � ) {\frac {\partial }{\partial t}}({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}})={\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}}+{\mathbf {E}}\times {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}\times {\mathbf {B}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}}) ， 稍加编排，将 � \mathbf{f} 写为

�

� 0 ( � ⋅ � ) � + 1 � 0 ( � × � ) × � − � 0 ∂ ∂ � ( � × � ) − � 0 � × ( � × � )

� 0 [ ( � ⋅ � ) � − � × ( � × � ) ] + 1 � 0 [ − � × ( � × � ) ] − � 0 ∂ ∂ � ( � × � ) {\begin{aligned}{\mathbf {f}}&=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}\right){\mathbf {E}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\times {\mathbf {B}}-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right)-\epsilon _{0}{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\&=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-{\mathbf {B}}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right)\\end{aligned}} 。 为了使 � \mathbf {E} 的项目 � \mathbf {B} 的项目能够相互对称，加入一个 ∇ ⋅ �

0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 项目：

�

� 0 [ ( � ⋅ � ) � − � × ( � × � ) ] + 1 � 0 [ ( � ⋅ � ) � − � × ( � × � ) ] − � 0 ∂ ∂ � ( � × � ) {\mathbf {f}}=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}-{\mathbf {E}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {E}})\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}-{\mathbf {B}}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {B}}\right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right) 。 应用向量恒等式，对于任意向量 � \mathbf{A}

� × ( � × � )

1 2 � � 2 − ( � ⋅ � ) � {\mathbf {A}}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {A}})={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-({\mathbf {A}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {A}}， 将 � \mathbf{f} 的方程内的旋度项目除去：

�

� 0 [ ( � ⋅ � ) � + ( � ⋅ � ) � ] + 1 � 0 [ ( � ⋅ � ) � + ( � ⋅ � ) � ] − 1 2 � ( � 0 � 2 + 1 � 0 � 2 ) − � 0 ∂ ∂ � ( � × � ) {\mathbf {f}}=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {E}}){\mathbf {E}}+({\mathbf {E}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {E}}\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}+({\mathbf {B}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {B}}\right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}\right) 。 这方程最右边项目涉及了坡印亭向量 � \mathbf {S} ：

�

1 � 0 � × � {\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}} 。 设定麦克斯韦应力张量 � ⟷{\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

� � � ≡ � 0 ( � � � � − 1 2 � � � � 2 ) + 1 � 0 ( � � � � − 1 2 � � � � 2 ) T_{{ij}}\equiv \epsilon {0}\left(E{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta {{ij}}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu {0}}}\left(B{i}B{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{{ij}}B^{2}\right) ； 其中， � � � \delta _{ij} 是克罗内克函数。

定义一个向量 � \mathbf{A} 与麦克斯韦应力张量 � ⟷{\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} 的内积为

( � ⋅ � ⟷ ) �

∑ �

� � � � � ({\mathbf {A}}\cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}){j}=\textstyle {\sum {i}}\ A{i}T{{ij}} 。 那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 � \mathbf{f} 是

�

∇ ⋅ � ⟷ − � 0 � 0 ∂ � ∂ � {\mathbf {f}}=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {S}}}{\partial t}} 。 麦克斯韦应力张量的性质 麦克斯韦应力张量是一个对称张量，表达为

� � �

( � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) + 1 � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) + 1 � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 � � � � + 1 � 0 ( � � � � ) � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) + 1 � 0 ( � � 2 − � 2 / 2 ) ) T_{{ij}}=\left({\begin{matrix}\epsilon {0}(E{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon {0}E{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{x}B_{y})&\epsilon {0}E{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{x}B_{z})\\epsilon {0}E{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{x}B_{y})&\epsilon {0}(E{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon {0}E{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{y}B_{z})\\epsilon {0}E{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{x}B_{z})&\epsilon {0}E{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{y}B_{z})&\epsilon {0}(E{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu {0}}}(B{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right) 。 麦克斯韦应力张量的单位是牛顿／米2。麦克斯韦应力张量的 ij 元素诠释为，朝着 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

动量守恒定律 在一个体积 � {\mathcal {V}} 内的电荷，所感受到的总作用力 � \mathbf {F} 是

�

∫ �

� d �

∫ �

∇ ⋅ � ⟷ d � − � 0 � 0 d d � ∫ �

� d �{\mathbf {F}}=\int _{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {f}}{\mathrm {d}}\tau =\int _{{{\mathcal {V}}}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}{\mathrm {d}}\tau -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int _{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau 。 应用散度定理，可以得到

�

∮ �

� ⟷ ⋅ d � − � 0 � 0 d d � ∫ �

� d �{\mathbf {F}}=\oint _{{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\int _{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau ； 其中， � {\mathcal {S}} 是体积 � {\mathcal {V}} 的闭合表面。

根据牛顿第二定律，

�

d � d � {\mathbf {F}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}}{{\mathrm {d}}t}} ； 其中， � \mathbf{p} 是动量。

所以，电荷的动量 � � ℎ � � � � {\mathbf {p}}_{{charge}} 可以表达为

d � � ℎ � � � � d �

∮ �

� ⟷ ⋅ d � − d � � � d � {\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}_{{charge}}}{{\mathrm {d}}t}}=\oint {{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}}-{\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {p}}{{em}}}{{\mathrm {d}}t}}； 其中， � � �

� 0 � 0 ∮ �

� d �{\mathbf {p}}_{{em}}=\epsilon _{0}\mu _{0}\oint _{{{\mathcal {V}}}}\ {\mathbf {S}}{\mathrm {d}}\tau 是储存于电磁场的动量（坡印亭向量 � \mathbf {S} 是由电场和磁场组成的一个复合向量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程：

d d � ( � � ℎ � � � � + � � � )

∮ �

� ⟷ ⋅ d � {\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}({\mathbf {p}}{{charge}}+{\mathbf {p}}{{em}})=\oint _{{{\mathcal {S}}}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {a}} 。 动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的麦克斯韦应力张量 −- � ⟷{\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

∂ ∂ � ( � � ℎ � � � � + � � � )

∇ ⋅ � ⟷{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}{{charge}}+{\mathfrak {p}}{{em}})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{{\mathbf {T}}}} ； 其中， � � ℎ � � � � {\mathfrak {p}}{{charge}} 是电荷的动量密度， � � � {\mathfrak {p}}{{em}} 是电磁场的动量密度。

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