伦敦方程把超导体的电流与其里面及周围的电磁场联系起来，这两条方程是由弗里茨与海因茨·伦敦两兄弟于1935年提出的。[1]它们可被视为超导现象最简单的有效描述，所以几乎所有介绍超导的现代教科书，都会把伦敦方程视为入门必修课[2][3][4]。这套方程组最大的成就，就在于它们成功地解释了迈斯纳效应[5]；该效应指的是，当超导体温度低于超导的门槛后，它会愈来愈快地排斥掉其内部所有的磁场。

目录 1 数学表述 2 伦敦穿透深度 3 伦敦方程的基本原理 3.1 最初的论述 3.2 正则动量论述 4 注释及参考资料数学表述以可量度的场表示时，伦敦方程共有两条：

∂ � � ∂ �

� � � 2 � � , ∇ × � �

− � � � 2 � � � \frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}, \qquad \mathbf{\nabla}\times\mathbf{j}_s =-\frac{n_s e^2}{mc}\mathbf{B} ,。其中 � � {\mathbf{j}}_s为超导电流，E和B分别为超导体内部的电场与磁场， � e,为基本电荷， � m,为电子质量，而 � � n_s,为一现象常数，大致上与超导电子的数密度有关[6]。本条目全篇都使用高斯cgs单位制。

另一方面，可以利用较抽象的概念——磁矢势A，来把上面两条式子写成较简便的形式，也就独立一条的“伦敦方程”[6][7]：

� �

− � � � 2 � � � \mathbf{j}_s =-\frac{n_se^2}{mc}\mathbf{A}, 。上述这条方程只有一个缺点，就是它一般不具有规范不变性，但只有在符合伦敦规范时，即向量场A的散度为零，才具有规范不变性 [8]。

伦敦穿透深度若使用安培定律来处理第二条伦敦方程的话[9]：

∇ × �

4 � � � \nabla \times \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c}，这样最后会得出一条微分方程

∇ 2 �

1 � 2 � , � ≡ � � 2 4 � � � � 2 \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{B}, \qquad \lambda \equiv \sqrt{\frac{m c^2}{4 \pi n_s e^2}},。因此从量纲可见，伦敦方程内含一特有的长度大小， �\lambda ，而在这个长度中，外来的磁场会被愈来愈快地被排斥。这个数值被称为伦敦穿透深度。

举例说，一超导体与自由空间之间的边界是平的，而超导体外面的磁场大小是固定的，且方向跟z轴一致，与边界平面平行。若x从边界指向超导体内部，则内部的磁场解为

� � ( � )

� 0 � − � / � B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda},，从上式可以较容易地理解到伦敦穿透深度的物理意义。

伦敦方程的基本原理最初的论述需要注意的是，上述各方程并不能用文字推导出来 [10]，尽管如此，伦敦兄弟在表述这套理论时，还是有跟着一套凭直觉所得的逻辑。欧姆定律指出，电流与电场成正比；即使各种物质的构造不同，但是大致遵守欧姆定律的物质种类还是出奇地多。然而，超导体是不可能有这样的线性关系，因为超导时电流都没有电阻，而这点就是超导的定义。为了这一点，伦敦兄弟把超导电子想像成，受均匀外在电场影响的真空电子。根据洛伦兹力方程：

�

� � + � � � × � \mathbf{F}=e\mathbf{E}+ \frac{e}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B} 这些电子应感受到一股均匀的力，并因此均匀地加速。第一条伦敦方程所描述的正是如此。

要得出第二条方程，先取第一条伦敦方程的旋度，然后使用法拉第定律：

∇ × �

− 1 � ∂ � ∂ � \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}，最后可得

∂ ∂ � ( ∇ × � � + � � � 2 � � � )

0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{j}_s + \frac{n_s e^2}{m c} \mathbf{B} \right) = 0,。就现时所得的方程而言，方程同时允许不变解及指数衰变解。伦敦兄弟从迈斯纳效应中察觉到，非零的不变解是不具有物理意义的，因此他们假定不单是上式的时间导数为零，还有括号内的式子也必须是零。由此得出第二条伦敦方程。

正则动量论述要解释伦敦方程，还有其他方法[11][12]。电流密度的表示式如下：

� �

� � � � \mathbf{j}_s = n_s e \mathbf{v}。要把上式由经典描述转为量子力学的描述，就必须把j及v的数值，改为对应算符的期望值。速度算符的表示式如下

�

1 � ( � − � � � ) \mathbf{v} = \frac{1}{m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right) 。把具有规范不变性的动态动量算符，除以粒子质量m，就能得到速度算符[13]。然后可以将速度算符代入电流密度的表示式。然而，超导的微观理论中有一个重要的假设，就是一系统的超导态是这个系统的基态，而根据布洛赫的一条定理[10]，这样一个态的正则动量p为零。因此得

� �

− � � � � 2 � � � \mathbf{j}_s =-\frac{n_se_s^2}{mc}\mathbf{A}，也就是上面用向量场A所表示的伦敦方程。

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