推迟势

/ 默认分类 / 0 条评论 / 70浏览

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟标势或推迟矢势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。

目录 1 理论概念 2 非齐次的电磁波方程 3 洛伦茨规范条件 4 广义的含时电磁场 5 超前势 6 参阅 7 参考文献 理论概念

给予在源位置 � ′ \mathbf{r}'的含时电荷分布或含时电流分布，计算在场位置 � \mathbf {r} 产生的推迟势。 对于静态的电荷分布和电流分布，电势 Φ ( � ) \Phi ({\mathbf {r}})和磁矢势 � ( � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}})分别定义为

Φ ( � )

= � � �

1 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ ) | � − � ′ | � 3 � ′ \Phi ({\mathbf {r}})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'、 � ( � )

= � � �

� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ ) | � − � ′ | � 3 � ′ {\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'； 其中， � \mathbf {r} 是场位置， � ′ \mathbf{r}'是源位置， � 0 \epsilon _{0}是真空电容率， � 0 \mu _{0}是真空磁导率， �\rho 是电荷密度， � \mathbf {J} 是电流密度， � ′ \mathbb{V}'是体积分的空间， � 3 � ′ d^{3}{\mathbf {r}}'是微小体元素。

在电动力学里，这两个方程必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间 � � t_{r}为检验时间 � t减去电磁波传播的时间：

� �

= � � �

� − | � − � ′ | � t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}}； 其中， � c是光速。

假设，从源位置 � ′ \mathbf{r}'往场位置 � \mathbf {r} 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 � t抵达观测者的场位置 � \mathbf {r} ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 � � t_{r}。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 � t，会不同于这电磁波发射的推迟时间 � � t_{r}。

推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)与推迟矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)分别用方程定义为

Φ ( � , � )

= � � �

1 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) | � − � ′ | � 3 � ′ \Phi ({\mathbf {r}},,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'、 � ( � , � )

= � � �

� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) | � − � ′ | � 3 � ′ {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu {0}}{4\pi }}\int {{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',,t{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'。 请注意，在这两个含时方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 � � t{r}有关，而不是与时间无关。

这两个含时方程，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间 � t的推迟势必定是由在推迟时间 � � t_{r}的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程[1]。还有，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程满足洛伦茨规范条件的证明。

非齐次的电磁波方程 含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁矢势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为[2]:1

∇ 2 Φ ( � , � ) − 1 � 2 ∂ 2 Φ ( � , � ) ∂ � 2

− � ( � , � ) � 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,,t) \over \epsilon _{0}}}、 ∇ 2 � ( � , � ) − 1 � 2 ∂ 2 � ( � , � ) ∂ � 2

− � 0 � ( � , � ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,,t)}。 假若，这些用启发法推理得到的推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)和推迟矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)不能满足非齐次的电磁波方程，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。

设定 � {\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}为从源位置到场位置的分离向量：

�

� − � ′ {\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}={\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'。 场位置 � \mathbf {r} 、源位置 � ′ \mathbf{r}'和时间 � t都是自变数（independent variable）。分离向量 � {\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}和其大小 � {\mathfrak {R}}都是应变数（dependent variable），跟场位置 � \mathbf {r} 、源位置 � ′ \mathbf{r}'有关。推迟时间 � �

� − � / � t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c也是应变数，跟时间 � t、分离距离 � {\mathfrak {R}}有关。

推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)的梯度是

∇ Φ ( � , � )

1 4 � � 0 ∫ � ′ ∇ ( � ( � ′ , � � ) � ) � 3 � ′

1 4 � � 0 ∫ � ′ [ ∇ � ( � ′ , � � ) � + � ( � ′ , � � ) ∇ ( 1 � ) ] � 3 � ′ \nabla \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\nabla \left({\frac {\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})}{{\mathfrak {R}}}}\right),d^{3}{\mathbf {r}}'={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\mathbf {r}}',,t{r})}{{\mathfrak {R}}}}+\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})\nabla \left({\frac {1}{{\mathfrak {R}}}}\right)\right],d^{3}{\mathbf {r}}'。 源电荷密度 � ( � ′ , � � ) \rho ({\mathbf {r}}',,t{r})的全微分是

� � ( � ′ , � � )

∇ ′ � ⋅ � � ′ + ∂ � ∂ � � � � �

∇ ′ � ⋅ � � ′ + ∂ � ∂ � � ( ∂ � � ∂ � � � + ∂ � � ∂ � � � )

∇ ′ � ⋅ � � ′ + ∂ � ∂ � � ( � � − 1 � � � )

∇ ′ � ⋅ � � ′ + ∂ � ∂ � � [ � � − 1 � ( ∇ � ⋅ � � ) + ∇ ′ � ⋅ � � ′ ) ] {\begin{aligned}d\rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\&=\nabla '\rho \cdot d{\mathbf {r}}'+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d{\mathbf {r}})+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d{\mathbf {r}}')\right]\\end{aligned}} 。 注意到

∂ � ( � ′ , � ) ∂ �

∂ � � ∂ �

∂ � ( � ′ , � � ) ∂ � �

∂ � ( � ′ , � � ) ∂ � � {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})}{\partial t_{r}}}、 ∇ �

� ^\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}。 所以，源电荷密度 � ( � ′ , � � ) \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})的梯度是

∇ � ( � ′ , � � )

− 1 �

∂ � ( � ′ , � � ) ∂ � � ∇ �

− 1 �

∂ � ( � ′ , � � ) ∂ � � ^

− � ˙ ( � ′ , � � ) � � ^\nabla \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})}{\partial t}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t_{r})}{c}}{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}； 其中， � ˙ ( � ′ , � � ) {\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t_{r})定义为 ∂ � ( � ′ , � ) ∂ � � {\frac {\partial \rho ({\mathbf {r}}',,t)}{\partial t_{r}}}。

将这公式代入，推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)的梯度是

∇ Φ ( � , � )

1 4 � � 0 ∫ � ′ [ − � ˙ ( � ′ , � � ) � � ^ � − � ( � ′ , � � ) ( � ^ � 2 ) ] � 3 � ′ \nabla \Phi ({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c}}{\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}-\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})\left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right],d^{3}{\mathbf {r}}'。 推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)的拉普拉斯算符是

∇ 2 Φ ( � , � )

1 4 � � 0 ∫ � ′ [ − ∇ � ˙ ( � ′ , � � ) � ⋅ � ^ � − � ˙ ( � ′ , � � ) � ∇ ⋅ ( � ^ � ) − [ ∇ � ( � ′ , � � ) ] ⋅ ( � ^ � 2 ) − � ( � ′ , � � ) ∇ ⋅ ( � ^ � 2 ) ] � 3 �

1 4 � � 0 ∫ � ′ [ − � ¨ ( � ′ , � � ) � 2 � − � ˙ ( � ′ , � � ) � � 2 + � ˙ ( � ′ , � � ) � � 2 − 4 � � ( � ′ , � � ) � 3 ( � ) ] � 3 � ′

− 1 � 2 ∂ 2 ∂ � 2 [ 1 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) � � 3 � ′ ] − � ( � , � ) � 0 {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c}}\cdot {\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}}}\right)-[\nabla \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})]\cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {{\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right],d^{3}{\mathbf {r}}\&={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho ({\mathbf {r}}',,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}})\right],d^{3}{\mathbf {r}}'\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',,t{r})}{{\mathfrak {R}}}},d^{3}{\mathbf {r}}'\right]-{\frac {\rho ({\mathbf {r}},,t)}{\epsilon _{0}}}\\end{aligned}} ； 其中， � 3 ( � ) \delta ^{3}({\boldsymbol {{\mathfrak {R}}}})是三维狄拉克δ函数。

所以，推迟标势满足非齐次的电磁波方程

∇ 2 Φ ( � , � ) + 1 � 2 ∂ 2 Φ ( � , � ) ∂ � 2

− � ( � , � ) � 0 \nabla ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\mathbf {r}},,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho ({\mathbf {r}},,t)}{\epsilon _{0}}}。 类似地，可以证明推迟矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)满足非齐次的电磁波方程。

洛伦茨规范条件 给予磁场 � \mathbf {B} ，并不是只有一个向量场 � \mathbf{A}满足条件 �

∇ × � {\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}}。实际上，有无限多个解答。应用一项向量恒等式， ∇ × ( ∇ � )

0 \nabla \times (\nabla \lambda )=0，给予任意函数 �\lambda ，那么， �

� + ∇ �{\mathbb {A}}={\mathbf {A}}+\nabla \lambda 也是一个解答。磁矢势的这种特性，称为规范自由。

物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。洛伦茨规范用微分方程表达为

∇ ⋅ � + 1 � 2 ∂ Φ ∂ �

0 \nabla \cdot {\mathbf {A}}+{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0。 按照前述方法，可以证明推迟标势 Φ ( � , � ) \Phi ({\mathbf {r}},,t)和推迟矢势 � ( � , � ) {\mathbf {A}}({\mathbf {r}},,t)满足洛伦茨规范。这是一个很好的练习。

广义的含时电磁场 主条目：杰斐缅柯方程 推迟势与电场 � \mathbf {E} 、磁场 � \mathbf {B} 的关系分别为

�

− ∇ Φ − ∂ � ∂ � {\mathbf {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}、 �

∇ × � {\mathbf {B}}=\nabla \times {\mathbf {A}}。 按照前述方法，可以得到电场 � \mathbf {E} 和磁场 � \mathbf {B} 的方程，又称为杰斐缅柯方程[1]：

� ( � , � )

1 4 � � 0 ∫ � ′ [ � ( � ′ , � � ) � − � ′ | � − � ′ | 3 + � ˙ ( � ′ , � � ) � � − � ′ | � − � ′ | 2 − � ˙ ( � ′ , � � ) � 2 | � − � ′ | ] � 3 � ′ {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[\rho ({\mathbf {r}}',,t{r}){\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c}}{\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}}}-{\frac {{\dot {{\mathbf {J}}}}({\mathbf {r}}',,t_{r})}{c^{2}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\right]d^{3}{\mathbf {r}}'、 � ( � , � )

� 0 4 � ∫ � ′ [ � ( � ′ , � � ) | � − � ′ | 3 + � ˙ ( � ′ , � � ) � | � − � ′ | 2 ] × ( � − � ′ )

� 3 � ′ {\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu {0}}{4\pi }}\int {{{\mathbb {V}}'}}\left[{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',,t{r})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}+{\frac {{\dot {{\mathbf {J}}}}({\mathbf {r}}',,t{r})}{c|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{2}}}\right]\times ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}')\ d^{3}{\mathbf {r}}'。 超前势 定义超前时间 � � t_{a}为现在时间 � t加上光波传播的时间：

� �

= � � �

� + | � − � ′ | � t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}{c}}。 超前标势 Φ � ( � , � ) \Phi {a}({\mathbf {r}},,t)与超前矢势 � � ( � , � ) {\mathbf {A}}{a}({\mathbf {r}},,t)分别用方程表达为

Φ � ( � , � )

1 4 � � 0 ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) | � − � ′ | � 3 � ′ \Phi _{a}({\mathbf {r}},,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {{{\mathbb {V}}'}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}}',,t{a})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'、 � � ( � , � )

� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ , � � ) | � − � ′ | � 3 � ′ {\mathbf {A}}_{a}({\mathbf {r}},,t)={\frac {\mu {0}}{4\pi }}\int {{{\mathbb {V}}'}}{\frac {{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',,t{a})}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},d^{3}{\mathbf {r}}'。 这两个方程表明，在时间 � t的超前标势与超前矢势，乃是由在超前时间 � � t{a}的源电荷密度或源电流密度产生的。超前标势 Φ � ( � , � ) \Phi {a}({\mathbf {r}},,t)与超前矢势 � � ( � , � ) {\mathbf {A}}{a}({\mathbf {r}},,t)也满足非齐次的电磁波方程和洛伦茨规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前标势和超前矢势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。

参阅 非齐次的电磁波方程 杰斐缅柯方程 李纳-维谢势 拉莫方程 阿布拉罕-洛伦兹力 狭义相对论

本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名,转载请标明出处
最后编辑时间为:

↓ ← → ↑