在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 � \mathbf{r},! 表示；而其大小则用 � r,! 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“ ′ ',!”；源变数的标记的后面有单撇号“ ′ ',!”。

让-巴蒂斯特·毕奥 在静磁学里，毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）以方程描述，电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似，当电流缓慢地随时间而改变时（例如当载流导线缓慢地移动时），这定律成立，磁场与电流的大小、方向、距离有关[1]。毕奥-萨伐尔定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥与费利克斯·萨伐尔命名。

毕奥-萨伐尔定律表明，假设源位置为 � ′ \mathbf{r}'的微小线元素 d ℓ ′ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'有电流 � I，则 d ℓ ′ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'作用于场位置 � \mathbf {r} 的磁场为

d �

� 0 � 4 � d ℓ ′ × � − � ′ | � − � ′ | 3 {\mathrm {d}}{\mathbf {B}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}； 其中， d � \mathrm{d}\mathbf{B}是微小磁场（这篇文章简称磁通量密度为磁场）， � 0 \mu _{0}是磁常数。

已知电流密度 � ( � ′ ) {\mathbf {J}}({\mathbf {r}}')，则有：

� ( � )

� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ ) × � − � ′ | � − � ′ | 3

d 3 � ′ {\mathbf {B}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{{\mathbb {V}}'}}{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}')\times {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}\ {\mathrm {d}}^{3}{r}'； 其中， d 3 � ′ {\mathrm {d}}^{3}{r}'为微小体积元素， � ′ \mathbb{V}'是积分的体积。

在流体力学中，以涡度对应电流、速度对应磁场强度，便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线（vortex line）导出的速度。

目录 1 概念 1.1 匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场 2 安培定律和高斯磁定律的导引 3 参阅 4 参考文献 概念 毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制，用方程表示，

� ( � )

� 0 � 4 � ∫ � ′ d ℓ ′ × � − � ′ | � − � ′ | 3 {\mathbf {B}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{{{\mathbb {L}}'}}{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}； 其中， � I是源电流， � ′ {\mathbb {L}}'是积分路径， d ℓ ′ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'是源电流的微小线元素。

应用这方程，必须先选出磁场的场位置。固定这场位置，积分于源电流的路径，就可以计算出在场位置的磁场。请注意，这定律的应用，隐性地依赖着磁场的叠加原理成立；也就是说，每一个微小线段的电流所产生的磁场，其向量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场，叠加原理成立，因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说，它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线，上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的，则可用包含导线体积 � ′ \mathbb{V}'的积分方程：

� ( � )

� 0 4 � ∫ � ′ � ( � ′ ) × � − � ′ | � − � ′ | 3 d 3 � ′ {\mathbf {B}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{{\mathbb {V}}'}}{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}')\times {\frac {{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|^{3}}}{\mathrm {d}}^{3}{r}'； 其中， � \mathbf {J} 是电流密度， d 3 � ′ \mathrm{d}^3 r'是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律，在静磁学的地位，类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系，则如库仑定律之于高斯定律。

假若无法采用静磁近似，例如当电流随着时间变化太快，或当导线快速地移动时，就不能使用毕奥-萨伐尔定律，必须改用杰斐缅柯方程。

匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场 由于点电荷的运动不能形成电流，所以，必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷 � q以等速度 � \mathbf {v} 移动，在时间 � t的位置为 �

� � \mathbf{w}=\mathbf{v}t。那么，麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场：

�

� 4 � � 0 1 − � 2 / � 2 ( 1 − � 2 sin 2 ⁡ � / � 2 ) 3 / 2 � − � | � − � | 3 \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{(1 - v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}、 �

� × 1 � 2 � \mathbf{B} = \mathbf{v} \times \frac{1}{c^2} \mathbf{E} ； 其中， �\theta 是 � \mathbf {v} 和 � − � \mathbf{r} - \mathbf{w}之间的夹角。

当 � 2 ≪ � 2 v^2 \ll c^2时，电场和磁场可以近似为

�

� 4 � � 0

� − � | � − � | 3 \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} 、 �

� 0 � � 4 � × � − � | � − � | 3 \mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} 。 这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来，称为毕奥-萨伐尔点电荷定律[2]。

安培定律和高斯磁定律的导引 这里，我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律和高斯磁定律[1][2]。若想查阅此证明，请点选“显示”。

[显示]证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足高斯磁定律： [显示]证明毕奥-萨伐尔定律所计算出来的磁场，永远满足安培定律： 参阅 狭义相对论 向量分析 散度定理 安培律

本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名,转载请标明出处
最后编辑时间为: