磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用向量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同[1]。

目录 1 概述 2 单位 3 两种磁源 4 计算磁矩的方程 4.1 平面循环 4.2 任意回路 4.3 任意电流分布 4.4 基本粒子 5 载流回路产生的磁场 6 处于外磁场的磁偶极子 6.1 磁偶极子感受到的磁力矩 6.2 磁偶极子的势能 6.3 非均匀磁场 7 范例 7.1 圆形载流循环的磁偶极矩 7.2 螺线管的磁矩 7.3 载电粒子圆周运动的磁矩 7.4 电子的磁矩 7.5 原子的磁矩 7.6 原子核的磁矩 7.7 分子的磁矩 7.7.1 分子磁性范例 8 参阅 9 参考文献 10 2022-11-28 23:59:27 UTC+0: 完成 20 条目 概述 一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：

�

� � {\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}},!； 其中， � {\boldsymbol {\mu }},!为磁偶极矩， � I,!为电流， � {\mathbf {a}},!为面积向量。磁偶极矩、面积向量的方向是由右手定则决定。

处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：

�

� × � {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {B}},!、 �

− � ⋅ � U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}},!； 其中， � {\boldsymbol {\tau }},!为力矩， � \mathbf {B} ,!为磁场， � U,!为势能。

许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为：

� �

− � � � � � / ℏ {\boldsymbol {\mu }}{s}=-g{s}\mu {B}{\mathbf {S}}/\hbar ,!； 其中， � � {\boldsymbol {\mu }}{s},!为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子 � � g_{s},!是一项比例常数， � � \mu _{B},!为玻尔磁子， � {\mathbf {S}},!为电子的自旋， ℏ \hbar,!是约化普朗克常数。

单位 采用国际单位制，磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：

1 安培·米2 = 1 焦耳／特斯拉。 CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。

磁偶极矩单位转换表[2] 光速　c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010 语言 国际单位制 静电单位制 电磁单位制 高斯单位制 中文 1 安培·米2 = 1 焦耳／特斯拉 = (103 c) 静安培·公分2 = (103) 绝对安培·公分2 = (103) 尔格／高斯 英文 1 A·m2 =1 J/T = (103 c) statA·cm2 = (103) abA·cm2 = (103) erg／Gauss 磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速。

在这篇文章内，所有的方程都采用国际单位制。

两种磁源 在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：

电荷的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。 像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉[3]。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向（电子磁矩的测量值是负值，这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向）。 整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的向量和：

电子的自旋。 电子环绕着质子的轨域运动。 质子的自旋。 再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的向量和，是条形磁铁的磁矩。

计算磁矩的方程 平面循环

假设一个平面载流循环的面积向量为 � {\mathbf {a}},!、所载电流为 � I,!，则其磁偶极矩为 �

� � {\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}},!。 对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩 � {\boldsymbol {\mu }},!是

�

� � {\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}},!； 其中， � I,!是循环所载有的恒定电流， � {\mathbf {a}},!是平面循环的面积向量。

面积向量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积向量的方向，也是磁偶极矩的方向。

这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 �

� � {\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}},!不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。

任意回路 对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流 � I,!，则其磁偶极矩为

�

� ∫ � d � {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{{{\mathbb {S}}}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}},!； 其中， � {\mathbb {S}},!是积分曲面， � {\mathbb {C}},!是 � {\mathbb {S}},!边缘的闭合回路， d � {\mathrm {d}}{\mathbf {a}},!是微小面积元素， d ℓ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},!是微小线元素， � \mathbf{r},!是 d ℓ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},!的位置。

引用向量恒等式

∫ � d �

1 2 ∮ � � × d ℓ \int _{{{\mathbb {S}}}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}={\frac {1}{2}}\oint _{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},!， 即可得到磁偶极矩的路径积分方程

�

� 2 ∮ � � × d ℓ {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{{{\mathbb {C}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},!。 任意电流分布 对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为

�

1 2 ∫ � � × �

d � {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{{{\mathbb {V}}}}{\mathbf {r}}\times {\mathbf {J}}\ {\mathrm {d}}V,!； 其中， � {\mathbb {V}},!是积分体积， � \mathbf{r},!是源电流位置， � \mathbf {J} ,!是电流密度， d � {\mathrm {d}}V,!是微小体积元素。

任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程计算出其磁偶极矩。

基本粒子 在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为 � \mu ,!，通常测量单位为玻尔磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：

一些基本粒子的内禀磁矩和自旋[4] 粒子 内禀磁矩（10−27 焦耳／特斯拉） 自旋量子数 电子 -9284.764 1/2 质子 +14.106067 1/2 中子 -9.66236 1/2 μ子 -44.904478 1/2 重氢 +4.3307346 1 氢-3 +15.046094 1/2 欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。

载流回路产生的磁场

磁偶极子的磁场线。从侧面望去，磁偶极子竖立于绘图的中央。 载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。

思考一个载有恒定电流 � I,!的任意局域回路 � {\mathbb {C}},!，其磁矢势 � {\mathbf {A}},!为

� ( � )

� 0 � 4 � ∮ � ′

d ℓ ′ | � − � ′ | {\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{{{\mathbb {C}}'}}\ {\frac {{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},'}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},!； 其中， � \mathbf{r},!是检验位置， � ′ {\mathbf {r}}',!是源头位置，是微小线元素 d ℓ ′ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},',!的位置， � 0 \mu _{0},!是磁常数。

假设检验位置足够远， �

� ′ r>r',!，则表达式 1 | � − � ′ | {\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}},!可以泰勒展开为

1 | � − � ′ |

1 � ∑ �

0 ∞

( � ′ � ) � � � ( cos ⁡ � ′ ) {\frac {1}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}={\frac {1}{r}}\sum {{n=0}}^{{\infty }}\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P{n}(\cos \theta '),!； 其中， � � ( cos ⁡ � ′ ) P_{n}(\cos \theta '),!是勒让德多项式， � ′ \theta ',!是 � \mathbf{r},!与 � ′ {\mathbf {r}}',!之间的夹角。

所以，磁矢势展开为

� ( � )

� 0 � 4 � ∑ �

0 ∞

1 � � + 1 ∮ � ′

( � ′ ) � � � ( cos ⁡ � ′ ) d ℓ ′ {\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\ {\frac {1}{r^{{n+1}}}}\oint {{{\mathbb {C}}'}}\ (r')^{n}P{n}(\cos \theta '){\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},',!。 思考 �

0 n=0,!项目，也就是磁单极子项目：

� 0 ( � )

� 0 � 4 � � ∮ � ′

d ℓ ′

0 {\mathbf {A}}_{0}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{{{\mathbb {C}}'}}\ {\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},'=0,!。 由于闭合回路的向量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。

再思考 �

1 n=1,!项目，也就是磁偶极子项目：

� 1 ( � )

� 0 � 4 � � 2

∮ � ′

� ′ cos ⁡ � ′ d ℓ ′

� 0 � 4 � � 2

( − � ^ × ∮ � ′ d � ′ ) {\mathbf {A}}_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{{2}}}}\ \oint _{{{\mathbb {C}}'}}\ r'\cos \theta '{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }},'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{{2}}}}\ (-{\hat {{\mathbf {r}}}}\times \oint _{{{\mathbb {S}}'}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}'),!。 注意到磁偶极矩为 �

� ∮ � ′ d � ′ {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{{{\mathbb {S}}'}}{\mathrm {d}}{\mathbf {a}}',!，偶极磁矢势可以写为

� 1 ( � )

� 0 4 �

� × � ^ � 2 {\mathbf {A}}_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu {0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {{\mathbf {r}}}}}{r^{{2}}}},!。 偶极磁场 � 1 {\mathbf {B}}{1},!为

� 1 ( � )

∇ × � 1 ( � ) {\mathbf {B}}{1}({\mathbf {r}})=\nabla \times {\mathbf {A}}{1}({\mathbf {r}}),!。 由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置（原点 � \mathbf{O}），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为

� 1 ( � )

� 0 4 � � 3 [ 3 ( � ⋅ � ^ ) � ^ − � ] + 2 � 0 3 � � 3 ( � ) {\mathbf {B}}_{1}({\mathbf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {{\mathbf {r}}}}){\hat {{\mathbf {r}}}}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}({\mathbf {r}}),!； 其中， � 3 ( � ) \delta ^{3}({\mathbf {r}}),!是狄拉克δ函数。

偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）[5]。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。

给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总向量和。

处于外磁场的磁偶极子 磁偶极子感受到的磁力矩

处于均匀磁场的一个方形载流循环。 如图右，假设载有电流 � I,!的一个方形循环处于外磁场 �

� 0 � ^ {\mathbf {B}}=B_{0}{\hat {{\mathbf {z}}}},!。方形循环四个边的边长为 � w,!，其中两个与 � ^ {\hat {{\mathbf {y}}}},!平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为 − � + � / 2 -\theta +\pi /2,!。

垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为

�

( � � � 0 � sin ⁡ � 2 + � � � 0 � sin ⁡ � 2 ) � ^

� � 2 � 0 sin ⁡ � � ^ {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {{\mathbf {y}}}}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {{\mathbf {y}}}},!。 另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 �

� � 2 � ^ {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {{\boldsymbol {\mu }}}},!。所以，这循环感受到的磁力矩为

�

� × � {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {B}},!。 令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持 �

� � {\boldsymbol {\mu }}=I{\mathbf {a}},!不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。

当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值 � � 0 \mu B_{0},!；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。

磁偶极子的势能 将载流循环从角弧 � 1 \theta _{1},!扭转到角弧 � 2 \theta _{2},!，磁场所做的机械功 � W,!为

�

− ∫ � 1 � 2 �

� �

− ∫ � 1 � 2 � � 0 sin ⁡ �

� �

� � 0 ( cos ⁡ � 2 − cos ⁡ � 1 ) W=-\int _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}\tau \ d\theta =-\int _{{\theta {1}}}^{{\theta {2}}}\mu B{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}}),!。 注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而 � \theta,!是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定 � 1

� / 2 \theta _{1}=\pi /2,!，则

�

� � 0 cos ⁡ � 2

� ⋅ � W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}},!。 对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧 � / 2 \pi /2,!扭转到角弧 � 2 \theta {2},!，所做的机械功 � � W{a},!为

� �

− �

− � ⋅ � W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}},!。 定义载流循环的势能 � U,!等于这机械功 � � W_{a},!，以方程表示为

�

− � ⋅ � U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}},!。 与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值 − � � 0 -\mu B_{0},!；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值 � � 0 \mu B_{0},!。

非均匀磁场 假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路 � ′ {\mathbb {C}}',!的磁场力等于零：

�

� ∮ � ′ d ℓ ′ × �

0 {\mathbf {F}}=I\oint _{{{\mathbb {C}}'}}{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\ell }}'\times {\mathbf {B}}=0,!。 假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同[6]。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为

� ℓ

∇ ( � ⋅ � ) {\mathbf {F}}_{{\ell }}=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\mathbf {B}}),!。 另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为

� �

( � ⋅ ∇ ) � {\mathbf {F}}_{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla ){\mathbf {B}},!。 两者之间的差别为

� �

� � + � × ( ∇ × � ) {\mathbf {F}}{l}={\mathbf {F}}{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times {\mathbf {B}}\right),!。 假设，电流等于零，电场不含时间，则根据麦克斯韦-安培方程，

∇ × �

0 \nabla \times {\mathbf {B}}=0,!， 两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[6]。

范例 圆形载流循环的磁偶极矩 一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径 � ′ r',!为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：

�

� � ′ 2 �

� × 0.05 2 × 1 ≈ 0.008 [ A ⋅ m 2 ]

0.008 [ J / T ] \mu =\pi r',^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008;[{\mathrm {A}}\cdot {\mathrm {m}}^{2}]=0.008;[{\mathrm {J/T}}],!。 磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：

假设场位置的距离 � r,!超远于循环半径 � ′

0.05

m r'=0.05\ {\mathrm {m}},!，则磁场会呈反立方减弱： 沿着循环的中心轴，磁矩与场位置 � \mathbf{r},!平行： �

� 0 4 � � 3 2 �

4 � × 10 − 7 4 � � 3 × 2 × 0.008 ≈ 1.6 × 10 − 9 � 3 [ T ⋅ m 3 ] B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{{-7}}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{{-9}}}{r^{3}}};[{\mathrm {T}}\cdot {\mathrm {m}}^{3}],!。 在包含循环的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置： �

− � 0 4 � � 3 �

−

4 � × 10 − 7 4 � � 3 × 0.008 ≈ −

0.8 × 10 − 9 � 3 [ T ⋅ m 3 ] B=-{\frac {\mu {0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{{-7}}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{{-9}}}{r^{3}}};[{\mathrm {T}}\cdot {\mathrm {m}}^{3}],!。 负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。 假设在地球的某地方，地磁场 � � {\mathbf {B}}{E},!的数值大约为0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且循环磁矩垂直于地磁场 � � {\mathbf {B}}_{E},!，则此循环所感受到的力矩为 � ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5

4 × 10 − 7

[ N ⋅ m ] \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{{-5}}=4\times 10^{{-7}}\ [{\mathrm {N}}\cdot {\mathrm {m}}],!。 应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场 � � {\mathbf {B}}{E},!，旋转至磁针的磁矩与地磁场 � � {\mathbf {B}}{E},!呈相同方向，则这罗盘-地球系统释放出的能量 � U,!为 � ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5

4 × 10 − 7

[ J ] U\approx 0.008\times 5\times 10^{{-5}}=4\times 10^{{-7}}\ [{\mathrm {J}}],! 。 由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。 螺线管的磁矩

螺线管三维电脑绘图。 一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的向量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。

假设螺线管的匝数为 � N,!，每一匝线圈面积为 � a,!，通过电流为 � I,!，则其磁矩为

�

� � � \mu =NIa,!。 载电粒子圆周运动的磁矩 假设，一个点电荷 � q,!以等速 � v,!绕着z-轴，移动于半径为 � r,!的平面圆形路径，则其电流为[7]

�

� � 2 � � I={\frac {qv}{2\pi r}},!。 其磁矩为

�

� � 2 � � � � 2

� � � 2 � ^ {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {{\mathbf {z}}}},!。 其角动量 � \mathbf {J} ,!为

�

� � � � ^ {\mathbf {J}}=mvr{\hat {{\mathbf {z}}}},!。 其中， � m,!是载电粒子的质量。

所以，磁矩与角动量的经典关系为

�

� 2 � � {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}{\mathbf {J}},!。 对于电子，这经典关系为

�

−

� 2 � � � {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}{\mathbf {J}},!； 其中， � � m_e,!是电子的质量， � e,!是电子的绝对电量。

假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，

1 4 � � 0

� 2 � 2

� � � 2 � {\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m{e}{\frac {v^{2}}{r}},!； 其中， � 0 \epsilon _{0},!是电常数。

现在施加外磁场 �

� � ^ {\mathbf {B}}=B{\hat {{\mathbf {z}}}},!于此氢原子，则会有额外的洛伦兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为 � � v_{B},!，则

1 4 � � 0

� 2 � 2 + � � � �

� � � � 2 � {\frac {1}{4\pi \epsilon {0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}},!。 所以，

� � 2 − � 2

( � � + � ) ( � � − � )

� � � � � � � v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}},!。 假设，两个速度的差别 Δ �

� � − � \Delta v=v_{B}-v,!超小，则

Δ � ≈ � � � 2 � � \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}},!。 所以，由于施加外磁场 � \mathbf {B} ,!，磁矩的变化为

Δ �

− � Δ � � 2 � ^

− � 2 � 2 4 � � � � ^ \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {{\mathbf {z}}}}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {{\mathbf {z}}}},!。 注意到 Δ � \Delta {\boldsymbol {\mu }},!与 � \mathbf {B} ,!呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。

为了简略计算，使用半经典方法[8]，可以求出磁矩的变化为

Δ �

−

� 2 ⟨ � 2 ⟩ 4 � � � � ^ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }},!}； 其中， ⟨ � 2 ⟩ \langle r^{2}\rangle ,!是半径平方的期望值。

电子的磁矩 电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。

电子的磁矩是

�

− � � � � � / ℏ {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu {B}{\mathbf {S}}/\hbar ,!； 其中， � � g{e},!是电子的朗德g因子， � �

� ℏ / 2 � � \mu {B}=e\hbar /2m{e},!是玻尔磁子， � {\mathbf {S}},!是电子的自旋角动量。

按照前面计算的经典结果， � �

1 g_{e}=1,!；但是，在狄拉克力学里， � �

2 g_{e}=2,!；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些， � �

2.002 319 304 36 g_{S}=2.002,319,304,36,!。

请注意，由于这方程内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。

原子的磁矩 在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩 � \mu ,!与总角动量 � \mathbf {J} ,!的关系为[9]

�

− � � � � � / ℏ {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu {B}{\mathbf {J}}/\hbar ,!； 其中， � � g{J},!是原子独特的朗德g因子。

磁矩对于磁场方向的分量 � � \mu _{z},!是

� �

− � � � � � � / ℏ \mu {z}=-g{J}\mu {B}J{z}/\hbar ,!； 其中， � �

� � ℏ J_{z}=J_{m}\hbar ,!是总角动量对于磁场方向的分量， � � J_{m},!是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。

因为电子带有负电荷，所以 � � \mu _{z},!是负值。

处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为

1 � � � � �

� × � {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {H}},!； 其中， � \gamma ,!是回转磁比率（gyromagnetic ratio） ， � {\mathbf {H}},!是磁场。

注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：

�

� � � � − � � � � � � � {\mathbf {H}}={\mathbf {H}}{{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}},!； 其中， � � � � {\mathbf {H}}{{eff}},!是有效磁场（外磁场加上任何自身场）， � \lambda ,!是阻尼系数。

这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）[10]：

1 � � � � �

� × � � � � − � � � � × � � � � {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times {\mathbf {H}}_{{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}},!。 方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。

原子核的磁矩 参见：核磁矩 核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。

虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。

分子的磁矩 任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：

假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献） 电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献） 依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。 分子磁性范例 氧分子，O2，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。 二氧化碳分子，CO2，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像13C或17O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。 氢分子，H2，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。 参阅 电偶极矩 磁化强度 磁化率 球多极矩 绝热不变数 磁偶极间相互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）

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